Matrix allgemein potenzieren

02.05.2005, 22:46

Horschie

Matrix allgemein potenzieren

Hallo,

gegeben ist folgende Matrix A:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gesucht ist eine allgemeine Formel für A^n mit nEN

Denke das Ergebnis wird irgendwas sein mit (-1)^n+/- irgendwas so in die Richtung.

Wie ich das Ganze angehen soll weiss ich aber leider überhaupt nicht. Kann mich jemand bitte in die richtige Richtung stoßen?

DAnke
Christoph

02.05.2005, 23:06

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RE: Matrix allgemein potenzieren
Rechne mal die ersten paar Potenzen aus, so etwa bis $\begin{eqnarray*} A^4 \end{eqnarray*}$ ... smile

02.05.2005, 23:26

JochenX

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Zitat:

Denke das Ergebnis wird irgendwas sein mit (-1)^n+/- irgendwas so in die Richtung.

"(-1)^n+/-"
sehr fein und klar ausgedrückt smile

03.05.2005, 11:56

Horschie

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was auffällt ist, daß A^5 in diesem Fall die gleiche Matrix wie A ist.

Wie aber komme ich jetzt zu einer allgemeinen Aussage über dieses Verhältnis? Muss die Aussage vlt. aus 2 Matrizen bestehen, die je nach dem ob n gerade oder ungerad e ist ihr Vorzeichen drehen? Kann ich mir eigentlich nur schwer vorstellen...

03.05.2005, 12:27

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Schau dir auch nochmal $\begin{eqnarray*} A^4 \end{eqnarray*}$ an.Dann kannst du den Exponenten n zerlegen gemäß $\begin{eqnarray*} n=4k+m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq m\leq 3 \end{eqnarray*}$
und dann rechnen:

$\begin{eqnarray*} A^n=A^{4k+m}=\left(A^4\right)^k\cdot A^m \end{eqnarray*}$ .

Oder du kannst das ganze auch gleich als Spezialfall $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ der allgemeinen zweidimensionalen Drehmatrix

$\begin{eqnarray*} A(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auffassen. Für diese gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \left[A(\varphi)\right]^n=A(n\varphi) \end{eqnarray*}$ , denn n hintereinander ausgeführte Drehungen mit jeweiligen Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ kann man ja als eine Drehung mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} n\varphi \end{eqnarray*}$ auffassen.

06.05.2005, 23:08

Morphi1

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Hallo,
ich hatte vor kurzem mal ne ähnliche Aufgabe zu lösen ... und habe es bis heute nicht geschaft. Aus den bisherigen Hilfen werd ich leider nicht ganz schlau ... kann das nochma jemand etwas näher erläutern ???
Wäre toll.

MfG Morphi

07.05.2005, 14:50

The_Lion

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habe auch ne ähnliche aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe bis ^4 gerechnet, und es fällt auf, dass mmer folgendes Muster enteht. Für n € IN entsteht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & n & * \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jedoch habe ich die Stelle mit dem Stern nicht rausbekommen. Bei n = 2 steht dort ne 3, bei n= 3 ne 6 und bei n=4 eine 10. Kann jemand weiterhelfen ?

07.05.2005, 14:55

Calvin

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EDIT

So, jetzt aber. Addiere mal die Zahlen von 1 bis n. Fällt dir was auf?

07.05.2005, 15:15

The_Lion

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ahh, jetzt verstanden. also kommt dorthin ein n*(n+1) / 2, was man durch Induktion noch beweisen muss.

07.05.2005, 16:42

JochenX

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hmmmm, ja, stelle diese behauptung auf, das
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt....
das sollte dann fü die indukion nur etwas nachrechnen sein!

edit: zweimal in der matrix 2 statt 1 geschrieben
per arthur per PN aufmerksam gemacht!
vielen lieben dank!
ich schiebs mal auf die kleine notebooktastatur!

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