Summe von Binomialkoeffizienten

02.05.2005, 22:03

lala

huhu... habe zwei kleine aufgäbelchen, die mir seit heut mittag meine nerven rauben traurig

aber für euch sicherlich np sin:

1. aufgabe: 2^n = E (oben n unten drunter k=0) (n über k)
2. aufgabe: 0 = E (oben n, unten drunter p = 0) (-1)^p (n über p)

ich hoffe ihr könnt mir helfen

greetz lala =)

02.05.2005, 22:06

JochenX

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FRAGEN HIERHIN

und mach bitte gleich einen neuen thread auf!
und nutze den formeleditor, das E ist ein sigma
und bringe auch erst mal deine eigenen ansätze

jochen

@mods: bitte abtrennen

03.05.2005, 00:50

Mathespezialschüler

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Geteilt

Bitte keine Fragen zu Aufgaben in den Workshop posten!

Zur Aufgabe:
Kennst du den binomischen Satz?

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

Dann gehts auch ohne Induktion!

03.05.2005, 01:27

Lala

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@mathespezialschüler: siehste ich bin zu gar nix mehr fähig :/ (danke fürs verschieben) aber das sagt mir alles leider gar nix, wie gesagt haben in der schule bis jetzt kein wort drüber gesprochen und ich weiß beim besten willen nich, wie ichs MIT vollst. induktion bis moin lösen soll traurig

0=\sum_{p=0}^n~(-1)^p*n über p ------- ich kanns nemmer sehn *verzweifel* kannst du mir helfen?

03.05.2005, 01:28

Lala

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$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{p=0}^n~(-1)^p \end{eqnarray*}$ * n über p

...siehste...bin schon total konfus Tanzen

03.05.2005, 02:10

Mathespezialschüler

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Also irgendwie ist auch der Induktionsschritt sinnlos, da man die Induktionsannahme gar nicht braucht, man kann, muss sie aber nicht benutzen.
Egal, auf jeden Fall helfen

$\begin{eqnarray*} {n+1\choose k}={n\choose k}+{n\choose k-1} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} {n+1\choose 0}=1={n\choose 0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {n+1\choose n+1}=1={n\choose n} \end{eqnarray*}$

Schaffst du es damit?

03.05.2005, 06:27

henrik

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Geteilt

Bitte keine Fragen zu Aufgaben in den Workshop posten!

Zur Aufgabe:
Kennst du den binomischen Satz?

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

Dann gehts auch ohne Induktion!

Wenn er gerade den zeigen soll dann kann er den doch nich einfach benutzen...

Also beides vollst. Induktion:

1.

$\begin{eqnarray*} 2^n = \sum_{k=0}^n {n~\choose~k} \end{eqnarray*}$

Ersmal machst du Induktions anfang mit n = 0

$\begin{eqnarray*} 2^0 = \sum_{k=0}^0 {n~\choose~k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = {0~\choose~0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

2. nun setzt du halt vorraus das es für n gilt und willst es dann für n+1 zeigen. Denn wenn es für n+1 gilt und du hast gezeigt das es für 0 gilt.. dann gilt es auch für n = 0 + 1 dann für n = 1 + 1 und dann auch für n = 2 +1 usw...

also setz für alle n ein n + 1 ein:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {n+1~\choose~k} \end{eqnarray*}$

nach dem tipp von mathespezialschüli:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {n~\choose~k} + \sum_{k=0}^{n+1} {n~\choose~k - 1} \end{eqnarray*}$

so ab da kannst du ja weitermachen.. aufjedenfall musst du jetzt irgendwie wieder zu einem $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n {n~\choose~k} \end{eqnarray*}$ kommen damit du dafür 2^n einsetzen kannst. Dazu wirst du die summe die von 0 bis n+1 aufspalten müssen damit sie von 0 bis n geht + das summengelied bei n+1.

Hoffe konnt helfen

03.05.2005, 06:46

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Zitat:

Original von henrik
Wenn er gerade den zeigen soll dann kann er den doch nich einfach benutzen...

Die Aufgabenstellung ist eine andere, insofern ist der Weg von MSS völlig ok.

03.05.2005, 06:47

henrik

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Aso also wenn die aufgabe ist : Zeigen sie das 2x die Ableitung von x^2 ist dann kann man auch einfach sagen "JOa einfach die formel für x^n nehmen fertisch!" cool muss ich mir für die nächste klausur merken

03.05.2005, 06:55

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Na, dann beweise halt jedesmal den Urschleim - jeder wie er will. smile

03.05.2005, 06:57

henrik

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ja toll dann kann man ja jedesmal sagen wenn man etwas beweisen soll "Hä? wozu ? der urschleim wurd doch schonmal von wem bewiesen".. dann bräuchte man ja auch gar nich mehr zur schule gehen weil alles schon gelernt wurde

[das war hier noch stand war ironisch gemeint und bezog sich auf die "beweisen" diskussion]

03.05.2005, 07:04

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Tja, ich finde es wichtig, immer das richtige Maß zu finden. Du beweist halt gern immer wieder den Binomischen Satz

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=154173#post154173

Ich finde dagegen, es reicht einmal (pro Person), und dann kann man ihn auch nutzen - im vorliegenden Fall gemäß $\begin{eqnarray*} 2^n=(1+1)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0=(1-1)^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von henrik
ach ja für die zweite aufgabe musst du einfach die formel nehmen:

http://de.wikipedia.org/math/19b9777b0daf7c09dd38eed55fa50960.png

Beweisen, bitte! Wink

03.05.2005, 07:08

henrik

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Aber wenn die aufgabe nunmal so gestellt ist dass er etwas beweisen soll dann kann man doch nicht einfach eine formel die nehmen die das verallgemeinert und seine zahlenwerte einsetzen .. das ist kein beweisen... damit kann er sich allemal vorher klar machen wieso es später stimmen wird.
Auch wenn es hier im forum schon zich mal bewiesen wurd und du es sicherlich auch schon zich mal gemacht hast muss er es nunmal jetzt machen.

03.05.2005, 07:21

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Zitat:

Original von henrik
Aber wenn die aufgabe nunmal so gestellt ist dass er etwas beweisen soll dann kann man doch nicht einfach eine formel die nehmen die das verallgemeinert und seine zahlenwerte einsetzen ..

Wieso nicht, wenn das eine durchaus bekannte (und vermutlich auch vorher bewiesene) Aussage ist? Dann ist der Beweis halt sehr kurz - warum nicht. Du benutzt doch auch die Kettenregel beim Differenzieren, und weist sie nicht extra jedesmal nach, z.B. wenn du z.B für $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin\left(x^2\right) \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} f'(x)=2x\cos\left(x^2\right) \end{eqnarray*}$ beweisen sollst.

Vielleicht sollten wir auch erstmal die Antwort von lala auf die Frage von MSS abwarten, ob sie den Binomischen Satz kennt.

03.05.2005, 07:28

henrik

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wenn sie es direkt davor so hatten dann würde er sicherlich nicht so fragen.. denke schon das er versteht das 1 + 1 = 2 ist Augenzwinkern

03.05.2005, 13:01

Lala

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vielen vielen dank schonmal !!!!!!!!! ihr habt mir echt geholfen... aber wie kann man hendriks formel denn nun beweisen?

lganz liebe grüße

03.05.2005, 13:17

klarsoweit

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Welche Formel? Und wie war das jetzt mit dem binomischen Satz?
$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n~{n\choose k}a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$
Darfst du den nun verwenden, weil schon bewiesen, oder nicht?
Wenn ja, nehme einmal a=1 und b=1 bzw. a=-1 und b=1.

03.05.2005, 13:41

Lala

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ich glaube nicht, dass ich ihn verwenden darf, weil ich ja jede einzelne gleichung vollständig beweisen muss verwirrt

03.05.2005, 13:54

henrik

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naja dann für das 1. hab ich doch schon so gut wie alles verraten

beim zweiten isses das gleiche prinzip.. würd da auch vollst. induktion ..

erst induktionsanfang (gucken obs für n=1 stimmt)
dann annehmen es stimmt für n und dann halt n+1 für alle n einsetzen und so umformen das du deine vermutung wieder benutzen kannst.

03.05.2005, 15:20

Lala

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boah ich kann euch gar net genuch danken =) meine helden Gott

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