Polynomring |
| 03.05.2005, 14:52 | merlin25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Polynomring Zeigen Sie, dass es in jedem Polymonring über einem endlichen Körper K ein nichtkonstantes Polynom gibt, das keine Nullstelle in K hat. 
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| 03.05.2005, 21:54 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
der Trick den man hier brauchst, ist der kleine Fermat, also sei p die Charakteristik des Körpers (also Prim) dann gilt: für alle x ungleich 0, damit hast du ein Polynom was nur die Werte Null und Eins annimmt Bemerkung: für einen Körper mit Charakteristik 2 ist der Satz falsch, aber das tut der Aufgabe keinen Abbruch |
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| 04.05.2005, 12:09 | merlin25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das versteh ich so leider nicht ganz.... |
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| 04.05.2005, 15:05 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
an welcher Stelle? die Charakteristik eines Körpers ist definiert als p*1=0 also wie oft muss ich 1 zu sich selbst addieren, damit ich null bekomme, wenn das unendlich ist, definiert man noch, das die Charakteristik 0 sein soll. Da dein Körper aber endlich ist, kann das hier nicht der Fall sein. Das die Charakteristik eine Primzahl ist, liegt daran dass du einen Körper hast Mit Widerspruchsbeweis kann man zeigen, das ein Körper mit Char nicht prim Nullteiler hätte den kleinen Fermat darfst du denke ich einfach zitieren, der ist so alt (Fermat!) das man denn nicht mehr zeigen muss. der Fermat liefert dir, das das Polynom f(x)=x^p nur die Werte Null und Eins annimmt, damit kannst du dann ein Polynom mit der gewünschten Eigenschaft konstruieren. |
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