Gauß und die vier gleichungen

03.05.2005, 17:13	Lexikanon	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß und die vier gleichungen Hallo Leute, wir haben in der Schule noch kein einziges Mal den Gaußschen Algotrhitmus fuer Gleichungssysteme erklärt gekriegt,,aber sollen eine HA nach dem Muster lösen,,,ich versteh ja eigentlich das Prinzip bin mir aber total nicht über die Schritte (als aus gleichung 2 im ersten gleichungssystem wird gleichung 1- 2mal gleichung 2 im zweiten gleichungssystem etc.) im klaren,,,waere nett wenn mir jemand nur diese art der anweisungen fuer die folgende sache gibt: GLeichung 1: 3a+6b+3c+12d = 930 GLeichung 2: 1a+3b+4c+2d = 545 Gleichung 3: 5a+9b+c+10d=735 Gleichung 4: 2a+6b+5c+2d=710 Also will nur wissen ob ich im zweiten system nun gleichung 1 - 3 mal gleichung 3 nehme um a wegzukriegen etc...bitte helft mir ! Lexi
03.05.2005, 17:16	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe nicht, wie deine anweisungen zu diesem LGS passen sollen? was verstehst du unter 1. system/ 2. system?
03.05.2005, 19:52	Lexikanon	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: römisch 1: Gleichung römisch 2: gleichung 2 römisch 3: gleichung 3 römisch 4: gleichung 4 Meine damit natüerlich das gleichungssystem und wie es dann zum nächsten schritt hin aussieht.
03.05.2005, 20:01	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, sagt dir Treppenform etwas ?
06.05.2005, 16:25	Lexikanon	Auf diesen Beitrag antworten »
nee leider nicht...wie gesagt unser lehrer hat uns das ganze noch nie wirklich erklärt schnüff
06.05.2005, 17:23	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey, machen wir mal ein kleines Beispiel: Gegeben ist ein LGS mit 3 Unbekannten, welches folgende Form hat: $\begin{eqnarray} a_1x + a_2y + a_3z = e_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_1x + b_2y + b_3z = e_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_1x + c_2y + c_3z = e_3 \end{eqnarray}$ Als allererstes versuchen wir das Gleichungssystem in die Dreiecksform (ich nenne sie immer Treppenform) zu bringen. Dafür müssen wir versuchen die Elemente unter der Hauptdiagonalen = 0 zu setzen. Ein Bsp. mit Zahlen sollte das ganze verdeutlichen: 1. Zeile: x + 2y + 3z = 2 2. Zeile: x + y + z = 2 3. Zeile: 3x + 3y + z = 0 In einer Matrix sähe das dann so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1x &a_ 2y &a_ 3z \\ b_1x & b_2y & b_3z \\ c_1x & c_2y & c_3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beachte: Übertragen wir das Ganze jetzt in Matrix-Form (3x3 Matrix), so schreiben wir nurnoch die Koeffizienten. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt formt man so um, dass $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ Null werden, indem man einfach das geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. Zu Zeile 2 wird nun erstmal das (-1)-fache und zu Zeile 3 das (-3)-fache von Zeile 1 addiert. Daraus ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie du siehst, haben wir nun schon fast die Treppenform erreicht. Was müssten wir nun also tun, damit unsere Matrix die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 &a_ 2 &a_ 3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ annimmt? - Also, du bist dran! Gruss mercany
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