Einheitswurzeln

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03.05.2005, 18:25	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitswurzeln Hab da folgende Aufgabe zu lösen die sich eigentlich ganz einfach anhört, doch mein Ansatz scheint nicht hin zu hauen. Aufgabe: $\begin{eqnarray} w_0,w_1,...,w_{n-1}\in \mathbb C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_j^n=1 \end{eqnarray}$ also normal die einheitswurzel $\begin{eqnarray} 0\leq j\leq n-1 \end{eqnarray}$ zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^{n-1}~w_j =0 \end{eqnarray}$ mein Ansatz: Ich habe $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ erst mal in eine Parameterform gebracht und dann die n-te Wurzel gezogen. Sodass ich $\begin{eqnarray} w_j=\cos(\frac{2j\pi}{n}) +i\cdot\sin( \frac{2j\pi}{n}) \end{eqnarray}$ stehen habe. Jetzt setz ich den Ausdruck in die Summe ein und komm nicht mehr weiter. Ist mein Ansatz der Richtige?? Vielen Dank für eure Hilfe!!
03.05.2005, 18:45	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitswurzeln Hallo mcmanic, Ich würde $\begin{eqnarray} w_j \end{eqnarray}$ in der Polarform ansetzen, also $\begin{eqnarray} w_j= e^{j\frac{2\pi}{n} } \end{eqnarray}$ und dann an die Teilsumme einer geometrischen Reihe denken. Gruss yeti
03.05.2005, 19:26	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm die e-Funktion in Bezug auf das Thema kannte ich noch nicht ... hab mich aber schnell mal belesen. Wie meinst du das mit der Geometrischen Reihe? Hab dadran au schon gedacht seh aber noch nicht den Zusammenhang.
03.05.2005, 19:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Andere Möglichkeit: Satz von Vieta $\begin{eqnarray} (x-w_0)(x-w_1)\cdot\ldots\cdot(x-w_{n-1})=x^n-1 \end{eqnarray}$ Und der Koeffizient rechts vor $\begin{eqnarray} x^{n-1} \end{eqnarray}$ muss nach dem Satz von Vieta gleich der negativen Summe der $\begin{eqnarray} w_i \end{eqnarray}$ sein - und dieser Koeffizient ist offenbar gleich Null.
03.05.2005, 19:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu brauchst du nur zu wissen, daß, wenn $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ eine primitive $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Einheitswurzel bezeichnet - z.B. $\begin{eqnarray} \omega = \operatorname{e}^{\frac{2 \pi \operatorname{i}}{n}} \end{eqnarray}$ - alle Einheitswurzeln von der Gestalt $\begin{eqnarray} \omega^{\nu} \, , \ 0 \leq \nu \leq n-1 \end{eqnarray}$ sind. Die geometrische Reihe liefert sofort das Gewünschte. Es geht aber auch elementar (siehe Zeichnung).
03.05.2005, 19:45	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm Stirnrunzel müsste nicht v größer 1 sein damits ne einheitswurzel wird? Ich versteh ja alles was ihr schreibt nur soweit hatte ich ja auch gedacht ... mein Problem ist dieses "man zeige" ... wie zeige ich denn das jetzt genau .... an den Ideen haperts irgendwie nicht sondern an der Umsetzung oder ich geh da viel zu umstänlich wieder mal ran??! Also ich würde es gern auf die weise probieren. nicht mit der e-Funktion: $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^{n-1}~ \cos( \frac{2\pi j}{n})+i\sin( \frac{2\pi j}{n})=0 \end{eqnarray}$ jetzt probier ich schon die ganze zeit das 1/n raus zu bekommen aber das scheint nicht zu gehen! edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
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03.05.2005, 22:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Ist zwar haargenau das gleiche wie mit der Exponentialform, aber halt ne andere Schreibweise und da du die haben möchtest ... Benutze die Moivresche Formel $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{2\pi j}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2\pi j}{n}\right)=\left(\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)^j \end{eqnarray}$ Und dann is es eben doch wieder die geometrische Summenformel.
03.05.2005, 22:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch folgendermaßen argumentieren (ich beziehe mich auf die Zeichnung in meinem vorigen Beitrag): Die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Einheitswurzeln bilden in der Gaußschen Zahlenebene die Ecken eines regelmäßigen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Ecks mit Mittelpunkt 0. Die Summe von Vektoren ist wieder ein Vektor, der in eine bestimmte Richtung zeigt. Dreht man das Polygon um seinen Mittelpunkt so weit, daß es wieder mit sich selbst zur Deckung kommt, so muß der Summenvektor der gleiche sein wie zuvor. Da man ihn aber andererseits mitgedreht hat, zeigt er in eine andere Richtung. Diesen Widerspruch kann man nur auflösen, wenn der Summenvektor der Nullvektor ist.
03.05.2005, 22:39	mcmanic	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ... ich sags doch man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr .... auf die idee das ich das j raushol wär ich wohl in 10std noch nicht gekommen .... danke

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