Satz von Gauß

03.05.2005, 19:31

Heuschrecke1

Satz von Gauß

Hi, folgende Beispielaufgabe: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...el/beispiel720/

Meine Frage ist einfach. Was hat das $\begin{eqnarray*} r^2 sin{\vartheta} \end{eqnarray*}$
in der Zeile $\begin{eqnarray*} \int \int_V \int div \vec{F} dV= \end{eqnarray*}$ ... zu suchen? Der Anfang ist die Divergenz, dass ist klar, aber vor kommt das? Hat es etwas mit dV zu tun?

Bitte um Hilfe!

03.05.2005, 19:50

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RE: Satz von Gauß
http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten , Abschnitt Sphärische Polarkoordinaten findest du eine gute Erklärung.

03.05.2005, 19:55

iammrvip

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Ich muss dazu sagen, bin mir nicht ganz sicher. Ich habe mir das vor kurzem auch runtergeladen und mich gefragt, was das ist smile

Habe aber eine Vermutung...

Es gilt doch für den "Kugeleinheitsvektor":

$\begin{eqnarray*} \hat e_r = \begin{pmatrix} r\cos\varphi ~ \sin\vartheta \\ r\sin\varphi ~ \sin\vartheta \\ r\cos\vartheta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für das Volumen $\begin{eqnarray*} \mathrm dV \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathrm dV &= \frac{\partial}{\partial \varphi} \hat e_r \mathrm d\varphi \times \frac{\partial}{\partial \vartheta} \hat e_r \mathrm d\vartheta \\ &= r^2\sin \vartheta \cdot \hat e_r ~ \mathrm d\varphi ~ \mathrm d\vartheta \end{eqnarray*}$

Nur müsste dann beim Einsetzen ja noch ein $\begin{eqnarray*} \hat e_r \end{eqnarray*}$ dazukommen, weil ja $\begin{eqnarray*} \hat e_r^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iiint\limits_V \operatorname{div} \underline F ~\mathrm dV = \int\limits_0^1\mathrm dr \int\limits_0^\pi \mathrm d\vartheta \int\limits_0^{2\pi} (1 + r\cos\varphi \sin\vartheta + 3r^2\cos^2\vartheta) r^2\sin\vartheta \cdot \underbrace{\hat e_r \cdot \hat e_r}_{= 1} \end{eqnarray*}$

@Arthur Dent
Japp, dort habe ich auch schon fleißig gelesen Big Laugh

. Nein Spaß beseite, aber wie kommt man denn auf das Volumenelement - doch eigentlich so wie ich es gerechnet hab oder verwirrt

03.05.2005, 20:01

Heuschrecke1

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Das ist also ein FUNKTIONALDETERMINANTE, so etwas wie eine Übersetzungsmatrix des Kugelkoordinatensystem in das kartesische. Und die Hänge ich immer und überalle ran, wenn ich eine Parametrisierung gemacht habe?

03.05.2005, 20:04

iammrvip

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Zitat:

Original von Heuschrecke1
Das ist also ein FUNKTIONALDETERMINANTE, so etwas wie eine Übersetzungsmatrix des Kugelkoordinatensystem in das kartesische. Und die Hänge ich immer und überalle ran, wenn ich eine Parametrisierung gemacht habe?

Wenn du die Fläche von kartesische in andere Koordinatensysteme parametrisierst, musst du ja auch das Volumenelement $\begin{eqnarray*} \mathrm dV \end{eqnarray*}$ mit berücksichtigen (auch "parametrisieren").

03.05.2005, 20:31

Heuschrecke1

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mal dazwischen geredet - ich rechne eine ähnliche aufgabe mit einer elippse anstatt der einheitskugel und habe 2 Fragen:

1. Kann ich auch in einer ellipse die Kugelkoordinaten anwenden? sicher nicht. Da gibts ja kein r. Welche parametrisierung sollte ich hier verwenden?
2. Wo kommt - auch in der Beispielaufgabe - eigentlich der Volumenkörper zum tragen? Ich sehe nur, dass das Vektorfeld benutzt wird. Vielleicht bei den Integrationsgrenzen?

Ich schreibe euch mal die Aufgabe hin, die ich machen muss. Es gilt dasselbe prinzip wie bei der Beispielaufgabe, nur mit dem

Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec {F} = \left( \begin {array} {c} xy \\ 0 \\ -zy \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

und dem Ellipsoiden

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}+\frac {z^2}{c^2} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

04.05.2005, 18:30

yeti777

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Hallo Heuschrecke,

So, wie ich das sehe, ist die Divergenz deines Vektorfeldes gleich Null. Es gibt also gar nichts zu integrieren. Das Resultat ist Null. War das die Absicht des Aufgabenstellers, hm verwirrt

?

Gruss yeti

04.05.2005, 21:28

Trazom

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Die beste Seite zur Integralrechnung im ganzen Netz

http://www-hm.ma.tum.de/integration/course/html/ch2/home.htm

hier speziell
Theorie -> Volumenintegral -> Zylinder- und Kugelkoordinaten

11.05.2005, 20:48

iammrvip

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Zitat:

Original von Heuschrecke1
1. Kann ich auch in einer ellipse die Kugelkoordinaten anwenden? sicher nicht. Da gibts ja kein r. Welche parametrisierung sollte ich hier verwenden?

[...]

und dem Ellipsoiden

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}+\frac {z^2}{c^2} \end{eqnarray*}$

Wieso willst du denn keine Kugelkoordinaten verwenden verwirrt

Zwei Überlegungen dazu:

i) Wenn du mal geometrisch rangehst: Ein Ellipsoid ist doch nichts anderes als eine verzerrte Kugel (groß gesprochen).

ii) Guck dir mal die Gleichung ganz scharf an. Es ist doch die Koordinatengleichung für die Kugel nur, dass es eben durch die Paramter a, b, c zu einer Verzerrung kommt.

Also Kugelparametrisierung.

edit: Rechtschreibefehler beseitigt.

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