Lagebestimmung von Ebenen!

03.05.2005, 19:34	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebestimmung von Ebenen! Hallo! Ich glaube diese Lagebestimmungen von Ebenen habe ich noch nicht so ganz kapiert! Also: 1. Man muss doch immer gucken, in welche Richtung der Normalenvektor zeigt, ne? Dies macht man so: (P punkt auf Ebene, n der Normalvektor) $\begin{eqnarray} \vec{n}\vec{p}>0 \end{eqnarray}$ ist dieses Kriterium erfüllt, zeigt n in den Halbraum, in dem die Null nicht liegt. Stimmt das?! Aber was bedeutet das jetzt für mich? Nehmen wir an ich habe diese Ebene: $\begin{eqnarray} e: 8x_1-5x_2-4x_3=13 \end{eqnarray}$ jetzt wähle ich mir einen Punkt(0\|0\|-13/4) np ist dann >0. also zeigt n in den Halbraum, wo der Ursprung nicht liegt. so, jetzt ist der Abstand zur Ebene negativ. Was kann ich daraus schließen? Dass der Ursprung unter der Ebene liegt? So sieht das für mich nach unserem Schaubild aus, aber das ist falsch, oder? Ich hoffe hier kann das jmd. und Zeit und Geduld mir das zu erklären! In dem Bereich bin ich sehr unsciher momentan!! Vielen lieben Dank, aRo
03.05.2005, 19:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei nicht in der Ebene $\begin{eqnarray} E: \ \ f(x_1,x_2,x_3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{mit } f(x_1,x_2,x_3) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4 \end{eqnarray}$ liegende Punkte $\begin{eqnarray} P(r\|s\|t),Q(u\|v\|w) \end{eqnarray}$ liegen im selben durch $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ bestimmten Halbraum, wenn sie dasselbe Signum (Vorzeichen) haben: $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn}f(r,s,t) = \operatorname{sgn}f(u,v,w) \end{eqnarray}$ . In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2,x_3) = 8 x_1 - 5 x_2 - 4 x_3 -13 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} O(0\|0\|0), P \left( 0\|0\|-\frac{13}{4} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0,0,0) = -13 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \left( 0,0,-\frac{13}{4} \right) = 0 \end{eqnarray}$ Der Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ liegt also in der Ebene. Für den Punkt $\begin{eqnarray} Q(1\|1\|-1) \end{eqnarray}$ errechnet man z.B. $\begin{eqnarray} f(1,1,-1) = -6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ liegen daher im selben Halbraum.

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