Skalarprodukt und Vektorprodukt - Seite 2

05.05.2005, 15:29	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, asoo...das ist also die Hessesche' Normalenform einer Ebene bzw. einer Ebenengleichung und das konkret ist eben die Ausführung in Koordinatenform. Wir hatten die bisher nur kurz und da hatten wir die in der Form: $\begin{eqnarray} (\vec{x}-\vec{p})\vec{n_{0}}=0 \end{eqnarray*}$ Und das ist eben nun die Koordinatenform und nicht mehr Paramterform. Ok..im Zähler dann also meine Ebenengleichung mit dem Punkt eingesetzt, durch die die Senkrechte dann gehen soll. Und im Nenner, was wird da für a, b und c eingesetzt, damit ich auf Wurzel(5) oder Wurzel(1+4) komme? Der Punkt D mit seinen Koordinaten ist es ja nicht..? Edit: Klar, sind ja einfach die Faktoren b und c die ich auch im Zähler habe. a bzw. x habe ich nicht und b ist eben 1, da ja 1y und c ist 2 da 2z. Also dann unten Wurzel(1^2 + 2^2). Ok...ist verstanden - dankeschön.
05.05.2005, 15:53	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
eine (von beliebig vielen) parameterform der ebene $\begin{eqnarray} \vec{x} =\vec{p} +r\vec{u} +s\vec{v} \end{eqnarray}$ mit dem vektorprdukt $\begin{eqnarray} =\vec{n}= \vec{u} \times \vec{v} \end{eqnarray}$ erhältst du die (einzige) normalvektorform derselben ebene zu $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\vec{p} )\vec{n} =0 \end{eqnarray}$ und wenn du das ausmultiplizierst, bekommt man die (einzige, eindeutige) koordinatenform der ebene $\begin{eqnarray} ax+by+cz+d=0\;mit\; a_i=n_i,i=1,2,3\;und \;d = -\vec{p} \vec{n} \end{eqnarray}$ und der mathematiker hesse hat daruas die nach ihm benannte HNF (hessesche normalform) gemacht, indem er den normalenvektor normierte $\begin{eqnarray} HNF:\;\frac{ax+by+cz+d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=0 \end{eqnarray}$ a, b und c sind die koeffizenten vob x, y und z. im beispiel vorher: y + 2z - 8 = 0 => a =0, b = 1, c = 2 wie du ja erkannt hast werner n.s. in R2 gibt es analog die HNF der geraden
05.05.2005, 16:11	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, mhm ja alles klar, danke nochmal für die Erläuterung. - - - Es geht um die angehängte Aufgabe. Wie kann ich denn hier vorgehen? Soll ich mir hier für A, B und C Punkte wählen und das Ganze dann mit Zahlen rechnen oder geht das auch allgemein ohne zu kompliziert zu werden. g Also ich muss ja dann z.B. danach schauen: $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ . (weiß gerade nicht wie das "orthogonal/senkrecht auf"-Zeichen geht) Danke für Hilfe im Voraus!
05.05.2005, 17:35	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mit $\begin{eqnarray} A(0/-\sqrt{3} /0),B(1/0/0),C(-1/0/0)\;und\;D(0/-\frac{\sqrt{3}}{3}/2 \sqrt{\frac{2}{3})} \end{eqnarray}$ was man leicht für das tetraeder herleitet, gilt $\begin{eqnarray} \vec{a} \vec{d} =\begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ woraus wegen der symmetrie der aufgabe die behauptung folgt (a2 und a3 da war ich zu faul, sind ja egal) werner sollst du das mit einem vektorzug machen?
05.05.2005, 19:06	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie komme ich denn auf die Punkte A, B, C und D und weshalb hat der Punkt D vier Teile oder zählt die 0 zu Beginn nicht? Und wenn bei dem (Skalar-)Produkt $\begin{eqnarray} \vec{a}\vec{d} \end{eqnarray}$ dann eben auch 0 rauskommt heißt das, dass $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ orthogonal zueinander sind und damit eben auch die restlichen sich gegenüberliegenden Kanten, da ja alle Kanten gleich lang sind beim Tetraeder? - - - Wie in einem Vektorzug? Also die Aufgabe soll mit Skalarprodukt oder Vektorprodukt gelöst werden (steht eben unter diesem Bereich) und ansonsten wüsste ich nichts, dass irgendwas eingeschränkt wurde. Also da dürfen dann ruhig mehrere "Schritte" gemacht werden oder so, falls du das mit Vektorzug meinst, also das muss nicht mit einer Zeile gemacht werden oder so, aber ich glaube das meinst du nicht wirklich oder? g*
05.05.2005, 20:11	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
pardon, das war ein tipfehler, habe es schon korrigiert (ist ja offensichtlich) die werte für die punkte ergeben sich daraus, dass es sich um lauter gls. dreiecke handelt, steht in jedem formelheft es genügt auch (wenn du das koo-system so legst wie in meiner skizze) A(0/-a2/0), B(s/0/0), C(-s/0/0) und D(0/d2/d3) mit der seitenlänge des tetraeders 2s - mit a2, d2, d3 noch zu berechnen- weil dann aus dem skalarprodukt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2s \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ d_2-a_2 \\ d_3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ die behauptung folgt, ohne die exakten werte berechnen zu müssen der rest folgt aus der SYMMETRIE, ich habe ja 1 beliebige kante genommen, daher gilt es für alle anderen (klar nur deshalb, weil es gls. dreiecke sind, sonst keine symmetrie) geschlossener vektorzug: das ist sehr elegant, wenn man es mag! suche vektoren mit der summe $\begin{eqnarray} \vec{o} \end{eqnarray}$ stelle alle vektoren des geschl. vz. als linearkombination von 3 linear unabhängigen vektoren (in R3) dar leite daraus die behauptung ab ist zwar mühsam, das tippen, aber: $\begin{eqnarray} \vec{BC} =\vec{b} -\vec{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}\cdot \vec{BC} =\vec{c}\cdot \vec{b} -\vec{c}\cdot\vec{a} =0 \end{eqnarray}$ letzteres folgt aus der definition des skalarproduktes $\begin{eqnarray} \vec{c} \cdot \vec{b} =\mid c\mid \mid b \mid cos\alpha =\frac{1}{2} s\cdot s \end{eqnarray}$ weil eben im tetraeder alle seiten = s gleich lang sind und die winkel 60° werner
Anzeige

05.05.2005, 20:46	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ok, vielen Dank. Ich glaube da bevorzuge ich eher die erste Methode, wenn man die Punkte so allgemein betrachtet und dann aufgrund der Symmetrie (da alle Seiten gleich lang bzw. gleichsseitige Dreiecke), das dann für jede sich gegenüberliegende Kante gilt. Dankeschön!

« vorherige Seite 12

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »