Skalarprodukt und Vektorprodukt

Neue Frage »

SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Hallo,

es geht um Folgendes:

Gegeben sind die Vektoren , und . (t>0)


- Wie muss t gewählt werden, damit senkrecht auf gilt ?

Ich habe dann einfach das Skalarprodukt von a und b genommen, was mir das liefert:

6 - 8 + t = 0 => t = 2

Ist das so korrekt?


- Bilden Sie einen zu a(1) und b orthogonalen Vektor.

Hier habe ich dann das Vektorprodukt aus a(1) und b gebildet was mir liefert. Richtig?


- Wie muss t gewählt werden, damit a(t) und c einen Winkel von 45° bilden?

Hier weiß ich leider nicht wirklich, wie ich das machen soll.
Also Winkel habe ich ja im Skalarprodukt mit drin, mit cos Gamma.

Nur kann ich jetzt nicht einfach sagen: cos 45° = a*c / |a|*|c| (Vektor natürlich immer). Hier fällt dann nämlich t raus.
Wir hatten die Gleichung cos Gamma = a*b / |a|*|b| auch so, also für a und b. Jetzt habe ich ja sozusagen die "Seiten" a und c und somit einen anderen Winkel der von beiden eingeschlossen wird...wie mache ich das denn nun hier?


Vielen Dank im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt und Vektorprodukt
VOR der korrektur


stimmt alles, bis auf das ergebnis - ich meine damit, der weg ist ok.
1)2 - 8 + t = 0 => t = 6
2)mach die probe mit dem skalarprodukt!
richtig ist

3) stimmt, das geht wieder mit dem skalarprodukt

da fällt doch t nicht raus,
(skalarprodukt: b = a1b1+a2b2+a3b3 = t und im nenner
/a/ = wurzel(17 + t^2))
werner
 
 
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hatte mich beim Vektor für a(t) beim x-Wert vertippt, der ist nicht 1 sondern 3 (korrigiert).

Stimmen dann die Ergebnisse?

Ich habe jetzt das Dritte mit dem Winkel nochmal gerechnet und komme da über's Skalarprodukt auf t = Wurzel(25), also t=5. (?)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja jetzt stimmt alles, bis auf

werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

okay super vielen Dank!

- - - -

Zu einem anderen Problem, aber selbes Thema:

Es sind drei Vektoren a, b und c (alle ungleich 0) gesucht, sodass gilt a*c = b*c, aber nicht a=b.

Wie soll ich das denn anstellen?! *g* Also ich brauche nur eine Möglichkeit, es dürfte ja unendlich viele geben...

Kann ich da jetzt einfach "raten" oder schauen was eben passt und z.B. sowas hier aufstellen:



?

Oder zählt 1/2/3 und 3/2/1 auch als a=b? Als Betrag wär's natürlich das gleiche...*g*


Danke im Voraus für Hilfe!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

deine überlegung ist richtig, es gibt beliebig viele und a<> b, der zeigt ganz woanders hin.
ein rezept ist mir nicht bekannt, abr ich würde auch 2 geeignete komponenten vertauschen
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mhm alles klar, d.h. du hättest dann auch so etwas in der Art gewählt oder vielleicht dann eher z.B. bei a (1/3/2), dass der y-Wert auch noch unterschiedlich ist oder?


- - - - -

Eine andere/weitere Sache:






Hier soll der Schnittwinkel der beiden Gerade g und h berechnet werden.


Naja, ich bin bis jetzt so vorgegangen, dass ich die beiden Geraden gleichgesetzt habe und die Paramter r und s bestimmt habe.
Dann diese in die jeweilige Paramterform der Gerade eingesetzt und dann habe ich für g:x und h:x jeweils einen Vektor dastehen:





Tja, die sind nun identisch...ich habe dann trotzdem mal noch das Skalarprodukt gemacht und komme da auf cos Gamma = 14/14, also cos Gamma = 1 und das wäre dann eben für den Winkel 90°. D.h. die würden senkrecht aufeinander stehen bzw. der Schnittwinkel würde 90° betragen.

Ist das so richtig?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Tja, die sind nun identisch...ich habe dann trotzdem mal noch das Skalarprodukt gemacht und komme da auf cos Gamma = 14/14, also cos Gamma = 1 und das wäre dann eben für den Winkel 90°. D.h. die würden senkrecht aufeinander stehen bzw. der Schnittwinkel würde 90° betragen.


wenn die vektoren schon identisch sind, dann stehen sie wohl kaum senkrecht aufeinander....
kein wunder der arccos(1) ist ja auch 0° bzw. 180°....

rest hab ich nicht nachgerechnet....
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)ja, ist wohl egal, würde ich sagen
zu b) der schnittwinkel von 2 geraden ist der winkel, den die richtungsvektoren einschließen
da warst du zu kompliziert!

wenn die beiden geraden senkrecht stehen => skalarprodukt = 0, bei cos gamma = 1 => gamma = 0 => sind parallel
glaube ich
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hm...ja klar, arccos(1) ist 0°...vertan.

Also egal ob auf meine Methode, die ja dann doch wohl etwas zu kompliziert ist *g* oder auch direkt per Skalarprodukt der Richtungsvektoren gibts einen Winkel von 0° bzw. 180° und das beudet dann ja also, dass es gar keinen Schnittwinkel gibt bzw. die Geraden eben parallel sind....ok.

Dankeschön!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

die geraden sind aber nicht parallel, sonst müssten die richtungsvektoren vielfachen voneinander sein
wenn es keinen schnittpunkt gibt, dann sind sie windschief, "gehen" also im raum "aneinander vorbei"
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich vermute, das ist ein anderer winkel!
gamma = 101,09

@hallo jochen,
die guten schneiden sich S(3/2/1)
ohne gewähr

nur die guten sterben jung,
und ich werde jeden tag (noch) älter
werner
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe!
er hat den winkel zwischen den ortsvektoren der schnittpunkt(e) auf beiden geraden (da gibt es natürlich nur einen!) berechnet.

das hatte ich gar nicht verstanden.... löl.....
danki smile

mfg jochen




sterben diese geraden denn dann eigentlich jung?!
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
ich vermute, das ist ein anderer winkel!
gamma = 101,09

@hallo jochen,
die guten schneiden sich S(3/2/1)
ohne gewähr


Und wie komme ich zu diesem Schnittwinkel von 101,09°?

Und dass der Schnittpunkt bei (3/2/1) liegt, habe ich durch meine Vorgehensweise ja auch rausbekommen, das stimmt also wohl.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn sie sich schneiden, dann ist das gut, der schnittpunkt selbst ist unwichtig!

verwende wernes formel oben: , um den winkel zwischen den richtungsvektoren (die sind ja parallel zu den entsprechenden ebenen) zu bestimmen.

lies genau!
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja gut ok alles klar. Das wäre dann das Skalarprodukt eben aus den Richtungstungsvektoren...nur da es oben wo hieß, dass der Weg über gleichsetzten der Geraden und bestimmten der Parameter und dann das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren komplizierter sei, dachte ich das geht so auch. Das war dann wohl eher nur die Schnittpunktbestimmung...

Nur da kommt ja kein Winkel von 101,09° raus, also geht's dann so nicht und eben doch nur gleich mit den Richtungsvektoren.

Ok, dankeschön. Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und dann das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren

welche beiden vektoren?
der ortsvektor des schnittpunktes ist für beide geraden gleich smile
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja stimmt...deswegen war das ja auch etwas komisch dann, damit das Skalarprodukt und den Winkel auszurechnen... Augenzwinkern

- - -

Ich habe hier ein Parallelogramm mit den Punkten A (3|1|2), B (1|4|0), C (-3|5|1) und D (-1|2|3).

Nun möchte die Innenwinkel des Parallelogramms ABCD bestimmen.

Ich habe nun einfach mal zwei Geraden aufgestellt und zwar einmal vom Punkt A nach B und dann noch vom Punkt A nach D:






So, nun kann ich hier ja wohl wieder die beiden Richtungsvektoren nehmen und das Skalarprodukt bilden und bekomme dann meinen Innenwinkel Alpha.
Das habe ich mal gemacht und bekomme:



Und das bringt mir dann den Winkel von 59,04° für Alpha.

Und bei einem Parallelogramm sind ja Alpha = Gamma und Beta = Delta, also ist Gamma ebenso 59,04° und für Beta und Delta dann 180°-Alpha und das wären 120,96° für Beta und Delta.

Kann ich hier so vorgehen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nahgerechnet habe ich nichts, aber das verfahren ist gut, ja!
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

alles klar, naja vielleicht kann ja dann nochmal jemand kurz bestätigen, ob die Rechnung bzw. das Ergebnis richtig ist.

Wenn ich nun noch den Flächeninhalt des Parallelogramms ausrechnen möchte, kann ich dann einfach das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von meinen beiden Geraden AB und AD nehmen oder muss ich da erst noch etwas anderes aufstellen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
kann ich dann einfach das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von meinen beiden Geraden AB und AD nehmen

achtung der richtungsvektor ist von beliebiger länge!
du musst tatsächlich den vektor AB und AD nehmen und diese kreuzen.
dann noch die norm berechnen......

mfg jochen
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@hallo sky.......
das ergebnis stimmt, aber es sei mir erlaubt, zuviel des weges - oder bist du jogger?

und weiter wie gehabt
(ich meine, die geraden brauchst du nicht aufzustellen)
@danke jochen, das ist zuvield er ehre "werners formel"
werner
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"werners formel"

mir wurde gestern nachgesagt, die formel für die berechnung der zylinderoberfläche gefunden zu haben....
also nichts für ungut, aber da verdienst du diese auszeichnung locker

Big Laugh
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
"werners formel"

mir wurde gestern nachgesagt, die formel für die berechnung der zylinderoberfläche gefunden zu haben....
also nichts für ungut, aber da verdienst du diese auszeichnung locker

Big Laugh

nachdem ich mir gestern deine homepage angeschaut habe, bin ich mir noch nicht sicher, ob und wie frech ich zu dir sein darf.
eines weiß ich, irgendwann lande ich auf/ in deiner page.
und als guter klosterschüler weiß ich, wie feuer brennen tut!

trotzdem danke für die ehre
pi x pi
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...stimmt die Geraden brauche ich ja nicht wirklich, also die Gleichung dafür.

Ok gut, mal nochmal zum Flächeninhalt:

Zitat:
Original von LOED
du musst tatsächlich den vektor AB und AD nehmen und diese kreuzen.
dann noch die norm berechnen......


Wenn ich das Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektore bilde oder sie eben kreuze, dann erhalte ich:

Und wie kann ich nun eine "Norm" (?) berechnen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

schick mir ein bild und ich kann das auf der page landen beschleunigen.....
ansonsten kein falsches bild bekommen, ich bin meistens doch ein ganz lieber!

mfg jochen



Zitat:
pi x pi

dazu sage ich nur: dann geh doch aufs Klo




edit: norm entspricht der länge des vektors
weißt dann wie es geht?
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

achso..klar, warum ich da jetzt nicht weitergemacht habe, weiß ich auch nicht. *g*

Also nach dem Vektorprodukt und dann wäre der Flächeninhalt also Wurzel(321) und das gibt für den Flächeninhalt A(Parallelogramm)=17,92.

Der dürfte dann ja richtig sein oder? *g*
riwe Auf diesen Beitrag antworten »


also durch wurzel(25+100+196) dividieren
werner

vielleicht einfacher: A(parallelogramm) = /a x b/
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von LOED
schick mir ein bild und ich kann das auf der page landen beschleunigen.....
ansonsten kein falsches bild bekommen, ich bin meistens doch ein ganz lieber!

mfg jochen


du bist > 190!
und das soll alles ganz lieb sein?
www

jetzt bin ich schon ganz verwirrt, aber: NEIN
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

öhm... ja -2-(-12) gibt eben nicht 14 sondern 10. *ggg*

Ok...dann Wurzel(225) und das gibt für A=15.

Danke... Augenzwinkern
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es geht jetzt um eine dreiseitige Pyramide mit den Punkten A (2|2|3), B (4|8|0), C (-1|6|1) und D (2|5|6).

Jetzt soll zu erst einmal die Oberfläche der Pyramide ausgerechnet werden.

Ich habe dann also vier Flächen(-inhalte) zu berechnen und zwar für Grundfläche und die drei Seitenflächen.

Ich habe dann einfach immer die entsprechenden Vektorproduke gebildete und diese dann durch zwei dividiert (da es sich ja um Dreiecksflächen und nicht um eine Parallelogrammsfläche handelt).

Für die Grundfläche habe ich AB x AC gemacht und dann 14,53 erhalten.

1. Seitenfläche: AB x AD => 14,15
2. Seitenfläche: BC x BD => 15,70
3. Seitenfläche: AC x AD => 11,02

Dann habe ich für die Oberfläche alles zusammengezählt und das gibt dann O (Pyramide) = 55,4. Ist das so richtig gerechnet und wenn ja, kommt das Ergebnis hin oder hab' ich mich wo verrechnet?

- - - - -

Danach soll ich noch das Volumen der Pyramide ausrechnen.

D.h. also / a x b / * h

Wie kann ich denn nun genau eine Senkrechte auf die Grundfläche aufstellen, die durch meinen Punkt D geht bzw. in meinen Punkt D und ich dann auch gleich ihre Länge habe?

Kann ich hier das Skalarprodukt von und machen?

Also das Erste wäre mein / a x b / gewesen und das zweite ist der Punkt D... ?


Danke im Voraus!


/Edit: Ok, das mit dem Skalarprodukt was ich vorgeschlagen hatte ist wohl eher Schwachsinn...denn das Ergebnis ist unlogisch für die Höhe.
Ich könnte natürlich eine Gerade aufstellen mit dem Ergebnis aus / a x b / und dann + r*D. Nur wie ich daraus dann die Länge bekomme, weiß ich auch nicht...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zum volumen,
da brauchst du nicht unbedingt die höhe berechnen,
spatprodukt
du kannst aber auch die höhe berechnen über die HNF der grundfläche und die koo der spitze
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

achso...ja stimmt eigentlich. Und für nehme ich dann einfach eine Strecke zur Spitze, also ich habe mal AD genommen.

Ich habe für das Volumen nun 19,5 rausbekommen.

Stimmen Fläche und das Volumen der Pyramide so?

- - -

Hm, zur Berechnung ohne das Spatprodukt...also die Koordinate der Spitze habe ich ja und was ist die "HNF" der Grundfläche? ...NormalForm? *g*
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die dreiecksflächen mit berechnet und da kommt für alle flächen
raus und


zur HNF: koo-form der ebene ABC und D einsetzen gibt h

verrechnen ist meine lieblingsbeschäftigung,
daher bitte nachrechnen
stimmen deine koordinaten <=> V = 0, d.h D liegt in der grundebene, das ergibt auch die HNF????
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...du warst richtig, ich hab's nachgerechnet.

Zitat:
Original von wernerrin
verrechnen ist meine lieblingsbeschäftigung


...und vertippen bei den Punkten meine - korrigiert.

Jetzt sollte es von mir aber stimmen/passen und die Dreiecksflächen sind ja nicht alle gleich, ist ja kein Tetraeder. Also die Strecken AB, AC und BC sind nicht gleich lang, also sind's dann auch drei verschiedene Dreiecksflächen + Grundfläche.

Hoffe ich habe mich dann auch nicht verrechnet bei meinen Ergebnissen oben ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn die 4 dreiecksflächen gleich sind, muß das nicht notwendig ein teraeder (aus gleichseitigen dreiecken) sein, denke ich.
die fläche ABC stimmt

vorbehalte siehe oben
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja also stimmt Grundfläche und Volumen ja schon mal...und die Seitenflächen sollten eigentlich auch stimmen, aber gleich groß sind die bei mir eben nicht, aber das war bei deiner Rechnung ja vorher auch wahrscheinlich nur, weil eben die Koordinaten der Punkte anders waren.

- - -

Nochmal kurz eine Frage zur Berechnung der Höhe:

Wenn ich die Ebenengleichung für die Ebene ABC aufgestellt habe und die Koordinatengleichung der Ebene raus habe (bin gerade auf -3y+6z=24 gekommen für die Ebene ABC) und wo soll ich nun den Punkt D einsetzen? Also die y- bzw. z-Werte in die Gleichung und dann weiß ich ja nur, ob der Punkt auf der Ebene liegt oder nicht (und bei mir geht's nicht ganz auf; 21=24 *g*). Aber die Länge der Höhe habe ich dann ja noch nicht, auch wenn's jetzt aufgegangen wäre oder ich mich da nicht verrechnet hätte (wenn ich das getan habe...).
riwe Auf diesen Beitrag antworten »



wie es sich gehört
werner
n.s. wenn du die koo eines punktes in die HNF einsetzt, erhältst du seinen abstand von der ebene (d = 0 => liegt in der ebene)
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

so, also bei der Ebenengleichung hatte ich mich im letzten Schritt bei der Eliminierung der Parameter verrechnet.

Ich komme nun ebenfalls auf die Koordinatengleichung von y+2z=8 bzw. dann y+2z-8=0. Und weshalb dividiere ich die dann durch Wurzel(5) um h zu erhalten? Das sehe ich gerade noch nicht, ansonsten ist alles klar - danke.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

deine ebenengleichung hat vorher auch gestimmt, mußt nur durch 3 dividieren.
"das ist eben die HNF", das ist die normierung des normalenvektors der ebene, da du nachher MESSEN willst, zb.b. den abstand des punktes von der eben, den abstand der ebene von O(0/0/0) usw, mußt du den EINHEITSnormalenvektor verwenden!
E: ax + by +cz +d

werner
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »