Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt

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reima Auf diesen Beitrag antworten »
Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
Hallo,

bei folgender Aufgabenstellung bin ich mir nicht ganz sicher:

Bekannt sind die Koordinaten (IR³) der Eckpunkte A, 0, D eines Dreiecks in der Ebene E. Es wurde bereits herausgefunden, dass dieses Dreieck gleichseitig ist (Seitenlänge a).

Ferner sind die Koordinaten eines Punktes Q bekannt, der ebenfalls in der Ebene E liegt. (Das reduziert die Problematik im Prinzip schon mal auf IR²)

Es soll nun rechnerisch bestimmt werden, ob der Punkt Q innerhalb oder außerhalb dieses Dreiecks liegt.

Mein Lösungsweg wäre folgender:

1. Skizze anlegen, daraus wird ersichtlich: Q liegt nicht im Dreieck und ist von den drei Eckpunkten von A am weitesten entfernt

2. Länge der Strecke AQ berechnen

3. Ergebnis: Strecke AQ ist größer als Seitenlänge a, deshalb liegt Q außerhalb des Dreiecks. Begründung: Jeder Punkt innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a ist höchstens a von jedem der drei Eckpunkte entfernt (ohne weiteren Beweis angenommen)

Das ist meiner Meinung nach eine sehr simple und elegante Methode, das Problem zu lösen. Die Frage ist nur, ob meine Begründung auch in der Form stimmt und hinreichend ist.

In der Musterlösung zu dieser Aufgaben werden zwei Möglichkeiten angeboten, die über Geraden und Abstandsbestimmung und was weiß ich was ziemlich kompliziert an die Sache herangehen. Darum bin ich stutzig geworden, ob meine müden Augen bei meiner Lösung da nicht irgendwas übersehen haben.


Unabhängig davon würde mich interessieren, ob es eine allgemeine Methode zur Lösung solcher innerhalb/außerhalb Problemstellungen gibt, also konkret für ein allgemeines (nicht gleichseitiges) Dreieck. Oder ist es da besser, sich je nach Situation selber eine Lösung zu stricken?


Grüße,
Matthias
Fassregel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
Ich würde als mathematischer Laufbursche sagen, dass dein Ansatz an zwei entscheidenden Stellen hinkt:

1. Die Skizze. Eine Skizze kann meines Wissens nach nie als Beweismittel gelten, sondern nur als Denkunterstüzung.

2. Nehmen wir die Seitenlänge a als gegeben. Du kannst doch den Punkt Q beliebig nah am Dreieck, von mir aus auch 0,000001a in der Nähe von Punkt A wählen. Damit ist die Strecke AQ kleiner als die Seitenlänge a, und trotzdem liegt der Punkt außerhalb des Dreiecks.

Mir fällt jetzt leider auch kein genial einfacher Weg ein.
reima Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
Zitat:
Original von Fassregel
Ich würde als mathematischer Laufbursche sagen, dass dein Ansatz an zwei entscheidenden Stellen hinkt:

1. Die Skizze. Eine Skizze kann meines Wissens nach nie als Beweismittel gelten, sondern nur als Denkunterstüzung.

Und genau als solche wurde sie auch verwendet.

Zitat:
2. Nehmen wir die Seitenlänge a als gegeben. Du kannst doch den Punkt Q beliebig nah am Dreieck, von mir aus auch 0,000001a in der Nähe von Punkt A wählen. Damit ist die Strecke AQ kleiner als die Seitenlänge a, und trotzdem liegt der Punkt außerhalb des Dreiecks.

Der Fall ist hier nicht relevant, da ja |AQ| > a gilt. Es ist eben eine auf diesen Fall zugeschnittene Lösung.
Fassregel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
Zitat:

Der Fall ist hier nicht relevant, da ja |AQ| > a gilt. Es ist eben eine auf diesen Fall zugeschnittene Lösung.


Wie gesagt, mathematischer Laufbursche. Hab die Zeile überlesen...
Dann müsste der Beweis m.E. nach passen, aber sicher bin ich mir nicht.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
wozu dann eine skizze?
werner
reima Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
Zitat:
Original von wernerrin
wozu dann eine skizze?
werner

Steht doch in meinem ursprünglichen Beitrag, was ich aus der Skizze herausgelesen habe:
Zitat:
1. Skizze anlegen, daraus wird ersichtlich: Q liegt nicht im Dreieck und ist von den drei Eckpunkten von A am weitesten entfernt
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode zur Bestimmung ob Punkt innerhalb Dreieck liegt
dann machst doch sinnvollerweise:AQ,BQ und CQ und wenn max(AQ, BQ, CQ)>a hast du dein ergebnis, das meinte ich
sonst ist ja schade um deine idee
werner
reima Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok. Da ich aber lieber zeichne als rechne, hab ich erst mal eine Skizze gemacht und damit gleich 0 und D für die Menge der Punkte mit größtem Abstand von Q ausgeschlossen. smile

Zur allgemeinen Bestimmung ob ein Punkt innerhalb eines Dreiecks liegt, hat keine eine Idee, oder?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du ein beliebiges dreieck ABC meinst, im prinzip so, denke ich:

methode 1)parallele zu AB durch punkt Q, schnittpunkte mit den geraden durch AC = Q1 und BC = Q2 bestimmen und prüfen, ob sie innerhalb von AC und BC liegen.

methode 2) verallgemeinere "deine" methode:
AQ <= min(b,c) UND BQ<= min(c,a) UND CQ <= min(a,b)
(wobei vermutlich die 3. bedingung "selbserfüllend" ist?)
(scheint mir viel einfacher)

da gab es schon mal einen thread in dieser richtung im forum, wenn ich mich recht erinnere, mit einem beitrag von primaniac, mußt mal suchen,
ist schon länger her

ich hoffe es stimmt so
werner
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für jeden Punkt der Ebene, in der das Dreieck liegt, gibt es eindeutig bestimmte Skalare mit



liegt genau dann im Innern des Dreiecks, falls gilt:

Die erste Bedingung garantiert, daß "rechts von liegt".
Die zweite Bedingung garantiert, daß "oberhalb von liegt".
Die dritte Bedingung garantiert, daß "links von liegt".
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold's Methode führt letztendlich auf ein interessantes Gebiet:

Die Aufgabe kann - soferne dies im Unterricht vermittelt wurde - mit den so genannten baryzentrischen Koordinaten (relative Schwerpunktskoordinaten bezüglich der drei Eckpunkte) gelöst werden.

sh. u. a. bei

Edit (mY+): Ungültiger Link wurde entfernt.

Gr
mYthos
reima Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
wenn du ein beliebiges dreieck ABC meinst, im prinzip so, denke ich:

methode 1)parallele zu AB durch punkt Q, schnittpunkte mit den geraden durch AC = Q1 und BC = Q2 bestimmen und prüfen, ob sie innerhalb von AC und BC liegen.

Das allein reicht wohl leider nicht, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:

http://www.abi2k5.de/temp/matheboard-16697-1.png

Aber prinzipiell ist das die selbe Methode wie die von Leopold, nur mit ein paar fehlenden Nebenbedingungen, wenn ich es richtig verstanden habe. War also schon mal der richtige Weg Freude

Zitat:
methode 2) verallgemeinere "deine" methode:
AQ <= min(b,c) UND BQ<= min(c,a) UND CQ <= min(a,b)
(wobei vermutlich die 3. bedingung "selbserfüllend" ist)
(scheint mir viel einfacher)

Hm... wenn man sich die Menge der Punkte, die jeweils eine der Bedingungen erfüllen, farbig markiert, bekommt man folgendes:
http://www.abi2k5.de/temp/matheboard-16697-2.png
Die Schnittmenge davon liegt teils innerhalb und teils außerhalb des Dreiecks. Scheint also leider nicht funktionieren, wäre aber eine schöne Lösung gewesen smile Oder hab ich mit den Bezeichnungen der Seiten was vertauscht?


Zitat:
Original von Leopold
Für jeden Punkt der Ebene, in der das Dreieck liegt, gibt es eindeutig bestimmte Skalare mit



liegt genau dann im Innern des Dreiecks, falls gilt:

Die erste Bedingung garantiert, daß "rechts von liegt".
Die zweite Bedingung garantiert, daß "oberhalb von liegt".
Die dritte Bedingung garantiert, daß "links von liegt".

Danke, genau sowas hab ich gesucht! Eigentlich ganz logisch, nur drauf kommen muss man erst mal Augenzwinkern Hoffentlich lassen die diese Lösung im Abitur dann ggf. auch gelten smile


@mYthos: Baryzentrische Koordinaten sagen mir nichts, werds mir aber später mal anschauen.

Danke an alle für die Hilfe!

Grüße,
Matthias
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) wieso Q liegt ja außerhalb AC, in dem sinne, wie ich meinte (x_Q1 < x_Q < x_Q2) ?
zu 2) ja schade
werner
reima Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
zu 1) wieso Q liegt ja außerhalb AC, in dem sinne, wie ich meinte (x_Q1 < x_Q < x_Q2) ?

Ja, aber du meintest ja nur, dass man bestimmen soll, ob Q1 und Q2 jeweils auf den von A bzw. B zu C verlaufenden Strecken liegt. Und das ist sowohl mit Q außerhalb als auch mit Q innerhalb möglich.

Wenn man jetzt bspw. noch die Abstände von Q zu den Schnittpunkten ins Spiel bringt, dann sollte man damit auch auf ein Ergebnis kommen... (QQ1 <= Q1Q2 und QQ2 <= Q1Q2 ==> Q innerhalb)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eine etwas allgemeinere Methode, die sich auf beliebige konvexe n-Ecke erstreckt: Sei



die Darstellung des konvexen n-Ecks (Rand+Inneres) als Menge von Ortsvektoren . Diese Darstellung entspricht der Vorstellung, dieses n-Eck als Durchschnitt von n Halbebenen aufzufassen, dabei sind gerade Hesse-Normalformen der Grenzgeraden solcher Halbebenen, und als solche gerade die Geraden durch die n-Eckseiten, beschrieben jeweils durch die Parameter .

Und dann folgt unmittelbar das Kriterium




EDIT: Ergänzend sei hinzugefügt, dass das Ersetzen von durch das analoge Problem im Raum löst:

Liegt ein gegebener Punkt in einem konvexen Polyeder, oder nicht?

Wer will, kann natürlich auch noch höherdimensionale Räume betrachten - z.B. in der linearen Optimierung durchaus üblich.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

na, da haben wir aneinander vorbei geredet, denke ich,
oder ich war wie gehabt schlampert.
ich meinte es so
werner
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