Linerare Gleichungen mit 2 Variablen | Bitte um Kontrolle&Hilfe

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Linerare Gleichungen mit 2 Variablen | Bitte um Kontrolle&Hilfe
Servus,

wir nehmen in der Schule das Thema "Linerare Gleichungen mit 2 Variablen" durch...

Nun müssen wir auch Aufgaben lösen, und darauf ne Note erhalten.

Ich habe mich ma rangemacht und gerechnet...

Ich würde gerne fragen, ob jemand meine Ergebnisse kontrollieren kann, und wenn ich falsch liege, mir vielleicht helfen könnte.


Aufgabe: "Lösen Sie folgende Gleichungsysteme nach dem Einsetzungsverfahren"

1.) -2x + y = 1
2y +3x = -5

und

2.) 1/2x - 2y = 3/2
4x + 3y = -1


Bei 1.) habe ich folgendes raus: x = -1 und y = -1

Bei 2.) habe ich folgendes raus: x = 5/19 und y = -13/19

Die 5/19 und -13/19 sind BRÜCHE (fünfzehn-neunzehntel und minusdreizehn-neunzehntel)

Vielen, vielen Dank im Vorraus...

Qui
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Deine Lösungen passen beide.
Hättest du aber durch einsetzen deiner errechneten Lösungen in die Gleichungen auch selber überprüfen können!



Gruss
mercany
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank für die Kontrolle.

Sorry, auf das mit dem Einsetzen bin ich nicht gekommen geschockt

Wenn man 3 oder 4 Stunden Mathe macht, sieht man den Wald vor Bäumen nicht mehr Hammer
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Qui
Sorry, auf das mit dem Einsetzen bin ich nicht gekommen geschockt


Nicht schlimm.... Deshalb sag ichs dir ja auch! Augenzwinkern
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bins wieder Hammer

Ich wollte keinen neuen Thread aufmachen, darum benutz ich den hier...

Folgendes Problem.: "Lösen Sie unter Berücksichtigung aller Sonderfälle, benutzen Sie das Determinantenverfahren."

(a + 1) x - y = 1
x + (a - 1) y = 0

Ich bin soweit gekommen, dass ich folgendes rausbekommen habe.:

x = a-1:a² und y = -1:a²

Nun weiss ich nicht weiter...

Bitte helft mir Gott
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Verlesen gehabt und Antwort korrigiert!

Ja.. soweit ist schonmal richtig!
Bedenke, dass ist und die Lösungen für x und y sind nur definiert, wenn die Diskriminante nicht gleich Null ist.


Gruss
mercany
 
 
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Auch Edit: Das a nicht 0 sein darf, verstehe ich ja...

Nur...wie stelle ich es jetzt an, um x und y herauszubekommen?
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Mach die Probe:

"Du bist dran!"
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Mercany, wie bist du auf die "Probe-Formel" gekommen? verwirrt

€dit: Habe gerade erfahren, dass meine komplette Lösung falsch ist traurig
Das wird wohl nichts mehr traurig
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"Lösen Sie unter Berücksichtigung aller Sonderfälle, benutzen Sie das Determinantenverfahren."

wisst ihr denn übehaupt schon, was eine determinante ist?

mfg jochen
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss, wie das Verfahren geht, aber was fürn Vieh das is, weiss ich auch nicht smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das richtig verstanden habe die aufgabe scheibst du zunächst dein LGS um in matrizenschreibweise (A*(x|y)=(1|0)um, wobei A deine koeffizientenmatrix ist.
danach kannst du die sonderfälle "nicht eindeutig lösbar" zunächst dadurch bestimmen, dass du schaust, für welche a die determinante von A=0 ist.

es gilt: det A=0, dann ist das LGS eindeutig lösbar.
det A<>0, dann ist es nicht eindeutig

also berechne mal die determinante von A
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED, ich verstehe kein Wort vom dem was du da redest unglücklich

Ich habe die Aufgabe nach dem Determinantenverfahren gelöst...

D = a+1 -1
1 a-1

Dann habe ich geordnet: a+1 * a-1 - 1*-1

Raus kam a²

Das ganze hab ich dann noch für Dx und Dy gemacht...

Raus kamen Dx = a-1/a² und -1/a²

Und nun weiss ich nicht mehr weiter
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, also deine schreibweise lässt leider sehr zu wünschen übrig....
insbesondere missachtest du alle punkt vor strich regeln....
"("a+1)" * (a-1)" - 1*(-1)"
diese klammern sind nötig!

ich glaube auch, dass du nicht so ganz verstanden hast, was eine determinante eigentlich ist...

determinante der koeffizientenmatrix =a² ist aber richtig.
das sagt nun direkt aus, dass dein LGS für alle a<>0 eindeutig lösbar ist.

berechne also die lösungen für a<>0 (da musst halt mal schauen, ob deine eregbnisse die probe überstehen) und für den sonderfall a=0.

mfg jochen
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

@Loed

Sry für die schnelle Schreibweise...

Also von "Koeffiziensmatrix" habe ich in meinem Leben noch nie gehört...in meinen Büchern steht auch nichts darüber...

Was ist ein LGS???

Und wie/wo muss ich mit was die Probe machen???

Ich blicke echt nicht durch...


Definition: Die Differenz ad - bc wird als Determinante bezeichnet und in quadratischer Anordnung geschrieben:

ad - bc = |a b|
c d (c d müsste unter a b)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

koeffizienten sind die zahlen, die vor deinen unbekannten stehen.....

die matrix ist einfach nur, wenn du diese koeffizienten eben in eine matrix zusammenstellst!

also hier:


Zitat:
Was ist ein LGS???

lineares gleichungssystem, das was du hier hast
das solltest du wissen!

mfg jochen


ps: und wieder hast du mich verwirrt, wil du punkt vorstrich nicht achtest!
"x=a-1/a²" wäre falsch, denn / käme vor -!
x=(a-1)/a² wäre hingegen richtig, habe es eben selbst nachgerechnet. dein y stimmt auch.
abe nur für a<>0.

für a=0 musst du noch mal ran!
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibs nochmal neu:





Das habe ich raus...

Ist das nun BEIDES richtig bzw. kann ich diese "Formeln" als Lösung angeben?


Wie berechne ich den Fall "a=0" ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sieht gut aus mit dem formeleditor!
und ja, für a<>0 ist das die eindeutige lösung!

setze nun doch mal für a 0 ein und poste dann mal, wie dein LGS nun aussieht.
du hast dann ein LGS mit nur "normalen" zahlen als koeffizienten, das musst du lösen.
es ist nicht eindeutig lösbar, hat also entweder keine oder unendlich viele lösungen.

mfg jochen
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,





Das ergibt in meinen Augen nur Quark, da der Nenner nie 0 sein darf... verwirrt
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen....

Ich hatte es ja schonmal erwähnt, bedenke:
Die Lösungen für x und y sind nur definiert, wenn die Diskriminante nicht gleich Null ist.

Was gilt nur also für a, damit die Lösung deines LGS auch gilt?


Edit: Latex weggemacht, Antwort verändert, Rechtschreibfehler rausgenommen Big Laugh
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

a muss größer oder kleiner als 0 sein, aber NICHT gleich 0 Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

den fall a unglerich 0 hattest du aber schon abgehandelt, da sind die lösungen die, die du oben stehen hast.

du musst jetzt noch den letzten fall, nämlich das a=0 ist behandeln.
setz doch erst mal a=0 in dein LGS ein und poste die beiden gleichungen.

mfg jochen



@mercany:
Zitat:
Die Lösungen für x und y sind nur definiert, wenn die Diskriminante nicht gleich Null ist.

was für eine diskriminante!?
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

LOED, guck ma 3 Beiträge höher, da hab ich die LGS schon gepostet Buschmann
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
was für eine diskriminante!?


Koeffizientendeterminante nennt man auch Diskriminante, und sie darf nicht 0 sein, ansonsten hat das LGS keine Lösung.


Hatte übersehen, dass ihr das schon etwas vorher behandelt hattet...


PS: Trotzdem bin ich der Meinung, dass das hier doch nichts anderes als die Cramersche Regel ist... oder sehe ich das echt falsch?!
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

War meine Lösung nun richtig???

Oder muss ich die 0 für a von Anfang an (also wenn ich das Determinantenverfahren einsetze) einsetzen???

Desweiteren habe ich noch eine Frage.:

"Ermitteln Sie rechnerisch und zeichnerisch die Lösung von:"

y = -3x + 4
x = 4y - 3

Gibts da irgendeinen Hacken??? Irgendwie scheint die Aufgabe so einfach, dass ich net weiss, wie ich rangehen soll...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Naja....

So wie ich das sehe, sollst du die Lösung für x und y errechnen, oder?
Wo ist dann das Problem?

Tipp: Einsetzungsverfahren!


PS: Fällt dir danach etwas auf?
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp...

x = 1

y = 1

(Probe stimmt)

Nur wie zeichne ich das???

In meinem Aufzeichnungen steht, dass, wenn das LGS die Form "y = ax + b"
hat, dann bestimmt b den Schnitttpunkt mit der y-Achste und a bestimmt die Steigung der Geraden...

Für y = -3x + 4 wäre das kein Problem...aber müsste ich bei x = 4y - 3 nach y umstellen???

Dann bekäme ich leider Brüche traurig
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würd es so aussehen:




edit: das Gleichungssystem ist übrigens unterbestimmt.
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

Also war meine Vermutung, das ganze umzustellen, richtig? verwirrt

Wenn ja, vielen, vielen Dank für die Zeichnung der beiden Graphen smile


Ich hätte noch eine letze Frage...

War meine Rechnung mit a = 0 nun richtig oder muss ich noch etwas ergänzen?

€dit: Ist der Schnittpunkt der beiden Graphen auch wirklich bei 1 und 1???
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss "unterbestimmt"!

Da hab ich mich glaub ich vertan... so wies mir gerade scheint.


Ein Gleichungssystem ist "unterbestimmt", wenn die zweite Gleichung keine neue Information liefert, sondern lediglich die vorhandene Information anders kodiert.

Bsp:





Edit: Die Aufstellung in der du a = 0 gesetzt hast war schon richtig, allerdings bin ich mir nicht so sicher, was LOED damit bezwecken wollte, bzw. welchen Hintergrund das Ganze hat.

In meinen Augen fehlt bei der Aufgabe eigentlich noch die Probe für die I. und die II. Zeile des LGS.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mercany
Zitat:
Original von LOED
was für eine diskriminante!?


Koeffizientendeterminante nennt man auch Diskriminante, und sie darf nicht 0 sein, ansonsten hat das LGS keine Lösung.

die letzte aussage ist falsch

1x+1y=1
0x+0y=0

koefizientenmatrizendeterminante =0, aber dennoch lösbar.
nur als nachtrag.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... dann hab ich das entweder total falsch im kopf gehabt, oder aber die erläuterungen an denen ich das gelernt habe stimmten nicht.

ich glaube das war sogar wikipedia... muss mal gucken!



dann tut es mir auf jeden fall leid und ich muss mich für die falsche aussage entschuldigen.



mfg
mercany
Qui Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED

Ich habe für a mal 0 eingesetzt...

Hier vereinfacht sich das Gleichungssystem zu:

x - y = 1
x - y = 0

Wie man auf Anhieb sieht, widersprechen sich die beiden Gleichungen
und darum erhält man als Lösungsmenge für a=0: L = {}.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

jap, passt so!

Ausser, wiegesagt, LOED wollte damit etwas anderes bezwecken.
Was gilt jetzt also für die Definitionsmenge?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nene, das stimmt natürlich!
x-y kann ja nur 0 oder aber 1 sein....

mfg jochen



ps: @mercany: du hast folgendes im kopf: ist die koeffizientenmatrix (:=A) quadratisch (LGS mit gleich vielen gleichungen wie unbekannten), so sind folgende beiden aussagen äuivalent:
(i) det (A) <> 0
(ii) LGS eindeutig lösbar

Ax=b, wird dann von x=A^(-1)*b (A^-1 inverse zu A) gelöst

insbesondere folgt: det (A)=0, dann ist das LGS nicht eindeutit lösbar, dass muss aber nicht unlösbar sein.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für das Bsp. Jochen!


Gruss
Jan
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