Grenzwerte

04.05.2005, 11:29

Batista

Grenzwerte

Hy leutz,

ich weis nicht wie man die Grenzwerte bestimmt?
Kann mir jemand helfen die Aufgaben zu lösen?

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2n^3 +6n -1}{4n^3- 3n^2 +5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{2n^3 +3}{3n^4 -4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{(8n +5)}{(4n-3)}* \frac{(5}{(2}+ \frac{3)}{2n-1)} \end{eqnarray*}$

traurig

Danke

edit: latex-Codes verbessert, latex mag keine Zeilenumbrüche. Tiefstellen kannst du mit "a_n". (MSS)

04.05.2005, 12:00

klarsoweit

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RE: Grenzwerte
Kürze die Folgenterme durch die höchste vorkommende Potenz und wende Grenzwertregeln für bekannte Folgen wie 1/n bzw. 1/n² an. Der Term für die letzte Folge ist nicht klar erkennbar. Im Zweifelsfall vorher Klammern ausmultiplizieren.

04.05.2005, 12:03

henrik

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Immer die höchste Potenz ausklammern und du erhälst mehrere Nullfolgen und es bleibt nur noch dein Grenzwert übrig..

Bsp:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to{\infty}} \frac{4n^3+2n^2+1}{2n^3-10n^2+n} \end{eqnarray*}$
In diesem fall (und vielleicht auch bei dir was aber nicht absichtlich gemacht is, da man ja keine kompletten Lösungen hier angeben darf und ich entschuldige mich dafür) hat man als höchste eine 3 .. daher klammerst du $\begin{eqnarray*} \frac{n^3}{n^3} \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to{\infty}} \frac{n^3}{n^3} \cdot \frac{4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}{2-\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

und offentsichtlich: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to{\infty}} \frac{a}{n} = \lim_{n\to{\infty}} \frac{a}{n^2}=0 \end{eqnarray*}$

Daher

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to{\infty}} \frac{n^3}{n^3} \cdot \frac{4+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}{2-\frac{10}{n}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to{\infty}}\Big( \frac{n^3}{n^3} \Big) \cdot \frac{\lim\limits_{n\to{\infty}}(4)+\lim\limits_{n\to{\infty}}(\frac{2}{n})+\lim\limits_{n\to{\infty}}(\frac{1}{n^3})}{\lim\limits_{n\to{\infty}}(2)-\lim\limits_{n\to{\infty}}(\frac{10}{n})+\lim\limits_{n\to{\infty}}(\frac{1}{n^2})} = \lim_{n\to{\infty}} \Big(\frac{n^3}{n^3}\Big) \cdot \frac{4+0+0}{2+0+0} =1 \cdot 2 = 2 \end{eqnarray*}$

edit: So habs nun auch für Schüler wie MSS abgeändert

edit: latex-Code verbessert (den limes in Zähler und Nenner). (MSS)

04.05.2005, 13:40

Mathespezialschüler

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@henrik
1. Keine kompletten Lösungen!!! Forum Kloppe

Zumal deine Umformung in der letzten Zeile (mathematisch korrekt) nicht 100%ig nachvollziehbar ist. Soll heißen: Es fehlt dort ein Schritt.
2. Schreibe bitte überall ein n anstelle von x! Es geht hier um eine Folge und in der Aufgabenstellung stehen n's. Du erweckst mit dem x hier den Eindruck, es ginge um eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , was nicht stimmt. In diesem Fall ist zwar der Grenzwert der gleiche, aber bei anderen Funktionen muss das nicht stimmen! Bitte ändere das.

04.05.2005, 13:43

henrik

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Wo is das eine komplette Lösung?

das ist doch nur eine beispielaufgabe ... seine aufgaben hab ich doch gar nicht berührt

04.05.2005, 13:50

Mathespezialschüler

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Hhhm, sorry. Gott

Hab ich nich so genau drauf geachtet, zumal du sagtest: "deine höchste potenz ist 3".
Trotzdem denke ich, dass die x's irritieren könnten ...

04.05.2005, 13:51

JochenX

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andererseits gilt bei einer reellen funktion für x gegen unendlich bei solchen gebrochenrationalen funktionstermen nichts anderes, oder!?

04.05.2005, 13:55

henrik

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So alles geändert nach deinen wünschen hoffentlich

04.05.2005, 14:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

edit: So habs nun auch für Schüler wie MSS abgeändert

Warum schreibst du das so klein? Wolltest du nicht, dass ich es lese?
Für mich hast du das nicht getan! Ich habe dir dazu geraten, damit es für andere verständlicher wird.
Aber mit der Änderung bin ich zumindest zufrieden, falls du das hören willst. Augenzwinkern

@LOED
Ja, bei gebrochenrationalen Funktionen stimmt das, aber bei anderen muss es nicht stimmen (Bsp. Sinusfunktion).

06.05.2005, 14:14

Batista

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Hallo,

Danke das du mir das so gut erklärt hast aber irgendwie bekomm ich das nicht auf die reihe!
Kann´mir nochmal jemand das erklären?

MfG
Batista

06.05.2005, 14:17

klarsoweit

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Ähh, was jetzt genau? verwirrt

henrik hat es doch genau hingeschrieben. Oder wo klemmt es noch?

06.05.2005, 14:18

JochenX

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nö, henriks beispiel ist absolut ähnlich deinem beispiel, damit musst du eigentlich was anfangen können.

sag uns lieber mal, was du daran nicht verstehst.

jochen

edit: und MSS war der gleichen meinung - nur schneller!

edit: stimmt, das war klarsoweit

nichts für ungut!

06.05.2005, 15:10

Frooke

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Zitat:

Original von LOED

edit: und MSS war der gleichen meinung - nur schneller!

Ne, das war klarsoweit Augenzwinkern

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