Ist die Differenz der beiden Funktionen eine Konstante?

04.05.2005, 14:24

oldwise

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Ist die Differenz der beiden Funktionen eine Konstante?

Hallo!

Ich soll folgende Aufgabe lösen und habe mir dabei folgendes gedacht:

Zeigen oder widerlegen Sie: Die Differenz der durch $\begin{eqnarray*} F_1(x)=\arctan (1+x^2),~x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2(x)=\arctan(\frac{x^2}{1+x^2}),~x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegebenen Funktion $\begin{eqnarray*} F_1,F_2:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante.

Ich widerlege mit einem Gegenbeispiel:

für x=0 ist:

$\begin{eqnarray*} F_1(0)=\arctan(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2(0)=\arctan(0)=0 \end{eqnarray*}$

somit ist die Differenz: $\begin{eqnarray*} F_1(0)-F_2(0)=\arctan(1)-\arctan(0)=\arctan(1) \end{eqnarray*}$

für x=1 ist:

$\begin{eqnarray*} F_1(1)=\arctan(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2(1)=\arctan(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

somit ist die Differenz: $\begin{eqnarray*} F_1(1)-F_2(1)=\arctan(2)-\arctan(\frac{1}{2})\neq\arctan(1) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass die Differenz keine Konstante ist, richtig?

04.05.2005, 14:28

JochenX

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wenn du dich nicht verrechnet hast, dann stimmt das!

04.05.2005, 14:32

Mathespezialschüler

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RE: Ist die Differenz der beiden Funktionen eine Konstante?

Zitat:

Original von oldwise
somit ist die Differenz: $\begin{eqnarray*} F_1(1)-F_2(1)=\arctan(2)-\arctan(\frac{1}{2})\neq\arctan(1) \end{eqnarray*}$

Wer sagt, dass diese Ungleichung gilt?

04.05.2005, 14:34

henrik

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Wenn du es ohne Taschenrechner lösen sollst dann würde ich die beiden einfach ableiten und zeigen dass ihre Ableitung unterschiedlich ist..
(Denn Funktionen deren Differenz konstant ist müssen die gleiche Ableitung haben)

wie mss anmerkt kannst du die ungleichung sicherlich nur mit hilfe einen TR "zeigen"

04.05.2005, 14:37

oldwise

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RE: Ist die Differenz der beiden Funktionen eine Konstante?

Zitat:

Wer sagt, dass diese Ungleichung gilt?

wenn man sich den Verlauf der arctan funktion anschaut, dann sieht man logischerweise dass das unterschiedliche Werte ergeben.

Aber um auch nummer sicher zu gehen, werde ich anhand der ableitung zeigen, dass die anstiege an den Stellen unterschiedlich sind und somit meinen Beweis untermauern!

danke für den tipp!

schönen Feiertag wünsche ich!

04.05.2005, 14:44

henrik

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Ich find das gar nich so logischerweise...

arctan(x) ist monoton steigend und 0 < arctan(0.5) < arctan(1) < arctan(2)

daher kannst du doch gar nich allein durch das angucken sagen das arctan(2) -arctan(0.5) nicht arctan(1) ist..

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04.05.2005, 14:45

oldwise

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eigentlich gerade deshalb weil arctan streng monoton wachsend ist.

04.05.2005, 14:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von oldwise
wenn man sich den Verlauf der arctan funktion anschaut, dann sieht man logischerweise dass das unterschiedliche Werte ergeben.

Aber das ist eben kein Beweis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deswegen solltest du wirklich ableiten.
Übrigens gilt

$\begin{eqnarray*} F_1(x)-F_2(x)=\frac{2+x^2}{1-x^4}-1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Die Gleichung ist falsch (danke henrik)! Richtig ist

$\begin{eqnarray*} F_1(x)-F_2(x)=\arctan\left(\frac{1+x^2+x^4}{(1+x^2)^2}\right) \end{eqnarray*}$

was allerdings nicht das ist, was ich wollte.

04.05.2005, 14:50

henrik

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gerade deshalb kannst du es nicht sehen...

weißt du wie groß der unterschied von atan(2) - atan(0.5) und atan(1) ist?
0.141... so einen minimalen unterschied erkennst du allein durch das aussehen der kurve? Augenzwinkern

Augenzwinkern

- nein

@MSS ehm.. das gilt überhaupt nich... setz doch mal 0 ein..

04.05.2005, 14:55

oldwise

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aber dass das nicht sein kann folgt schon aus der strengen monotonie und da muß ich nicht sehen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2005, 14:57

henrik

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Nein das folgt daraus nicht..

das is schwachsinn

nehmen wir mal an wurst(0.5) = 0.5 , wurst(1) = 1, wurst(2) = 1.5

wurst(x) sei monoton steigend..

da gilt doch wurst(2) - wurst(0.5) = wurst(1)

04.05.2005, 15:01

oldwise

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ok ich geb mich geschlagen! du hast mich überzeugt mit deiner wurst Gott

Gott

smile

04.05.2005, 15:16

AD

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Übrigens gilt

$\begin{eqnarray*} F_1(x)-F_2(x)=\frac{2+x^2}{1-x^4}-1 \end{eqnarray*}$

Da muss ich henrik zustimmen, das ist falsch - selbst dann, falls du die Differenz der Ableitungen meinen solltest. Ich komme jedenfalls auf

$\begin{eqnarray*} F_1(x)-F_2(x)=\arctan\frac{1+x^2+x^4}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$ .

04.05.2005, 15:19

henrik

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Da muss ich henrik zustimmen

ich hoffe die überwindung war nicht zu groß

04.05.2005, 15:26

Mathespezialschüler

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Hab es schon verbessert, danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2005, 15:27

henrik

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mach doch dann die falsche weg

04.05.2005, 15:36

Mathespezialschüler

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Dann sehen es ja spätere Leser nicht mehr und dein Kommentar würde sinnlos bzw. man wüsste nicht, welchen Fehler ich gemacht habe.
Da gab es erst vor kurzem ne Diskussion, deswegen lass ich das lieber so stehen.
Wer lesen kann, wird ja dann die richtige Formel mitbekommen, zumal sie ja bei Arthur auch steht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ich sehe grad, dass sie immer noch falsch ist... werds nochmal verbessern.
edit: Habs nochmal verbessert. Hatte das Additionstheorem des Tangens mit einem falschen Vorzeichen im Kopf Buschmann

Buschmann

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