Exponentialturm

04.05.2005, 22:00

Frooke

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Exponentialturm

Ich scheitere gerade an einer - vemutlich sehr einfachen - Gleichung... unglücklich

unglücklich

Es sei t ein Exponentialturm
$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=x^{x^{x^{.^{.}}}} \end{eqnarray*}$
Nun versuche ich diesen in geschlossener Form zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=x^{x^{x^{.^{.}}}}&&|\ln() \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(\mathrm{t}(x))=\left(x^{x^{x^{.^{.}}}}\right)\cdot\ln(x) \end{eqnarray*}$
Nun sollte ich die Gleichung so umformen, dass ich die Lambert-W.Funktion anwenden kann. Das gelingt mir aber nicht.
Ich habe so weitergemacht:
$\begin{eqnarray*} \ln(\mathrm{t}(x))=\mathrm{t}(x)\cdot\ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(\mathrm{t}(x))=e^{\ln(\mathrm{t}(x))}\ln(x) \end{eqnarray*}$
Nun habe ich aber eine Gleichung der Form:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}e^x=y \end{eqnarray*}$
Suche aber eine der Form
$\begin{eqnarray*} xe^x=y \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \mathrm{W}(x) \end{eqnarray*}$ anwenden zu können.

Und nur an diesem 1 über x kann das ja nicht scheitern... Ich steh grad auf der Leitung, hat jemand einen Tipp?

Vielen Dank! LG

04.05.2005, 22:08

JochenX

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RE: Exponentialturm

Zitat:

Original von Frooke

$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=x^{x^{x^{.^{.}}}} \end{eqnarray*}$

ist das t=x^(x^x) oder t=(x^x)^x??

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=x^{x^{x^{.^{.}}}}&&|\ln() \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(\mathrm{t}(x))=\left(x^{x^{x^{.^{.}}}}\right)\cdot\ln(x) \end{eqnarray*}$

wieso denn so!?
wieso nicht rechts ..=ln(x^x^x)?

04.05.2005, 22:11

4c1d

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Was ist ein Exponentialturm? Was hat das ^.^. zu bedeuten? verwirrt

verwirrt

04.05.2005, 22:15

JochenX

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Zitat:

Original von 4c1d
Was ist ein Exponentialturm? Was hat das ^.^. zu bedeuten? verwirrt

verwirrt

ich vermute exponentialturm war nur ein ausdruck, weil sich das so azuftürmt mit den exponenten.
die punkte waren mir so noch gar nicht aufgefallen verwirrt

verwirrt

04.05.2005, 22:17

Frooke

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Ein Exponentialturm ist ein Term von der Form x^x^x^x^x^x^x^x^.... und das bis ins Unendliche…(also letztlich ist es x^(x^(x^(x... ))) (Deswegen die Punkte)

Und zur Logarithmusanwendung:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=x^{\mathrm{t}(x)} \end{eqnarray*}$
Also auch
$\begin{eqnarray*} \ln(\mathrm{t}(x))=\ln(x)\cdot\mathrm{t}(x) \end{eqnarray*}$ ...

Ich hätte die Aufgabe auch so posten können (aber ich wollte noch den Kontext aufzeigen):
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}e^x=y \end{eqnarray*}$ Wie löse ich nach x auf?

04.05.2005, 22:26

henrik

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$\begin{eqnarray*} t(x) =x^{x^{x^{...}}} = - \frac{W(ln(x))}{ln(x)} \end{eqnarray*}$

hilft das ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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04.05.2005, 22:33

Frooke

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@henrik: Wusst ich schon, danke. Ich wollte nur wissen, wie man da drauf kommt, Schritt für Schritt. Und das habe ich eben immer noch nicht...

EDIT: HEUREKA!!! Ich habs Augenzwinkern

Augenzwinkern

... Hat also doch noch geklappt. Sorry also für den etwas überflüssigen Thread *schäm*. So, alles ok! Danke allen Tippgebern Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT2: @ All: Hätte erwähnen sollen, dass es ein unendlicher Exponentialturm ist.

04.05.2005, 22:50

henrik

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gibts auch ne nette denkaufgabe zu.. die hier im post aber schon gelöst wurde..

$\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{..}}}}}}}} = 2 \end{eqnarray*}$

was ist x ?

04.05.2005, 23:00

Frooke

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Nebenbei. Wenns jemand interessiert, so poste ich hier kurz die allgemeine Form:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}e^x=y \Leftrightarrow e^x=yx \Leftrightarrow \\ 1=yxe^{-x} \Leftrightarrow -\frac{1}{y}=-xe^{-x} \Leftrightarrow \\ \mathrm{W}(-\frac{1}{y})=-x \Leftrightarrow x=-\frac{1}{\mathrm{W}(-\frac{1}{y})} \end{eqnarray*}$
In Bezug auf den Exponentialturm gibt es keine grossen Änderungen (sonst nachfragen, dann poste ich den auch noch).

@henrik
Wenn ich jetzt die geschlossene Form habe, ists einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=2 \Leftrightarrow -\frac{W(-\ln(x))}{ln(x)}=2 \Leftrightarrow \\ \ln(x)=2\ln(x) x^{-2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}=x^{-2} \Leftrightarrow x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

EDIT: Patzer korrigiert, danke Henrik und Calvin! Jetzt stimmts Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2005, 23:04

Calvin

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Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} 1=yxe^{-x} \Leftrightarrow -y=-xe^{-x} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf verwirrt

verwirrt

Muss das auf der rechten Seite nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{y}=-xe^{-x} \end{eqnarray*}$ heißen?

04.05.2005, 23:05

henrik

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naja die kann man anders lösen..

$\begin{eqnarray*} h(x) = x^{x^{x^{...}}} = x^{h(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

04.05.2005, 23:08

Frooke

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@henrik: Hab grad meinen Patzer gesehen. Ist natürlich Wurzel(2). Sorry!... Arrghhh.

@Calvin: Stimmt: Ich editiers grad weg!

04.05.2005, 23:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \mathrm{t}(x)=2 \Leftrightarrow -\frac{W(-\ln(x))}{\ln(x)}=2 \Leftrightarrow \\ \ln(x)=2\ln(x) x^2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}=x^2 \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{W(-\ln x)}{\ln x}=2 \Leftrightarrow \ln x=2\ln x\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

wäre richtig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2005, 23:13

Frooke

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Habs gesehen, danke allen! (Soviele Fehler in nur einem Thread, bin wohl langsam müde Schläfer

Schläfer

)

Und Henriks Weg, das zu lösen ist viel eleganter, aber der mit der geschlossenen Form ist (für meine Begriffe) sehr interessant!

Danke allen und sorry für die vielen Fehler...

04.05.2005, 23:24

henrik

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Zitat:

Original von Frooke
Danke allen und sorry für die vielen Fehler...

dich sollte man doppelt und dreifach bannen! Zunge

Zunge

aber finds recht cool dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{...}}}}}}=2 \end{eqnarray*}$

05.05.2005, 10:57

Frooke

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Ja, hast recht: Ich hab Dir dazu auch noch einen (wurde auch schon gelöst, aber den anderen Weg rum smile

smile

)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{...+\sqrt{x}}}}=2 \end{eqnarray*}$
Was ist x?
Oder
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{...\cdot\sqrt{x}}}}=2 \end{eqnarray*}$

EDIT: Noch ein paar Forum Kloppe

Forum Kloppe

an mich. Und noch ein paar böse

böse

an mich! Ich schick mich selbst kurz zum Teufel

Teufel

!

05.05.2005, 11:48

henrik

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$\begin{eqnarray*} \sqrt(x+2) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt(x*2)=2 \end{eqnarray*}$

is doch auch nach dem prinzip oda nich?

05.05.2005, 11:56

Frooke

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Jepp! Wies genau hergeleitet wurde (inkl. ein paar frooke'sche Fehler bzw. Unkorrektheiten) kannst Du hier ansehen.

Da finde ich den Zusammenhang zum goldenen Schnitt, der sich da so zufällig ergab auch nicht schlecht interessant!

LG

PS. Die geschlossene Form des unendlichen Exponentialturmes ist natürlich auch insofern genial, als sich dann die Ableitung des Turmes berechnen läßt, was ja sonst kaum möglich wär...

05.05.2005, 12:50

henrik

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naja aber das hät man auch so sehen können

es gilt ja für den goldenenschnitt:

$\begin{eqnarray*} \Phi^2 = 1 + \Phi \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \Phi = \sqrt{1 + \Phi} \end{eqnarray*}$

und das ja dann genau

$\begin{eqnarray*} \Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1.....}}} \end{eqnarray*}$

aber trotzdem die geschlossene form war neues für mich und daher auch interessant smile

smile

05.05.2005, 22:42

Frooke

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Zitat:

Original von henrik
naja aber das hät man auch so sehen können

$\begin{eqnarray*} \Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1.....}}} \end{eqnarray*}$

Ja klar. Das ist ja per Definition schon so. aber wenn man sich vorstellt, wie so aus diesen Einsen diese goldene Zahl hervorkommt, find ich das doch irgendwo verblüffend und grad daher interessant.

PS: Bist Du - wie MSS - so in einem Spezialkurs, dass Du mit 15 schon die W(x)-Funktion kennst?

05.05.2005, 22:49

babelfish

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Zitat:

Original von Frooke
PS: Bist Du - wie MSS - so in einem Spezialkurs, dass Du mit 15 schon die W(x)-Funktion kennst?

nein, henrik ist 20 (20?!) und eben furchtbar witzig.

05.05.2005, 22:52

Calvin

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Zitat:

Original von babelfish
nein, henrik ist 20 (20?!) und eben furchtbar witzig.

Zumindest war er das die letzten Tage (und auch heute schon mehrmals Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

05.05.2005, 22:59

Frooke

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Hab mir grad gedacht... Lambert-W mit 15... Mannomannomann Augenzwinkern

Augenzwinkern

... Nun wie dem auch sei... Danke für den Hinweis!

05.05.2005, 23:24

henrik

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hey beschwert euch nich ich helf genug leuten Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2005, 23:43

Frooke

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Zitat:

Original von henrik
hey beschwert euch nich ich helf genug leuten Augenzwinkern

Augenzwinkern

...was natürlich im engsten Zusammenhang mit deiner Altersangabe steht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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