noch mal Körper

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Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »
noch mal Körper
so langsam wird es ernst und der Haufen an Fragen wird eigentlich doch eher größer als kleiner:

(1) ein Körper ist einfach nur eine Möglichkeit eine Zahlenmenge zu definieren?!

(2) ist ein Körper mit drei Elementen K = {0;1;2} ein endlicher Körper?

wenn die Menge der ganzen Zahlen kein Körper ist, weil das Inverse bzgl. der Multiplikation fehlt (nicht zur Menge gehört), wie kann dann die Menge K={0;1;2} ein Körper sein (die Inversen zu 0 1 2 sind ja auch nicht Teil der Menge)

(3) sind die Verknüpfungstabellen für K={0,1;2;3} korrekt? wenn nein, was ist falsch und warum:

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0

* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 1 ?
3 0 3 ? 2


danke =)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ein körper liegt auf einer beliebigen menge vor, wenn du deine verknüpfungen korrekt darauf definieren kannst, so dass alle körperaxiome gelten.

damit gilt insbesondere, dass du aus der menge {0,1,2} einen körper mit + und * machen kannst, wenn du korrekt verknüpfst: 2+2=1 z.b., diese 0,1,2 haben direkt nix mit den bekannten 0,1,2 der ganzen zahlen zu tun.
könntest deinen körper auch auf der menge {tut, hut, bagger} aufbauen, wenn du einfach entsprechend verknüpfst wie in {0,1,2}.
deine verknüpfungen können auch "herz" und "stern" sein...
das sind alles nur namen!

der körper über {0,1,2} ist endlich, zähl doch mal die elemente ab.

deine verknüpfungstabelle kann nicht stimmen, erstens hast du noch ? drin, 2. gibt es keinen körper mit 4 elementen.

mfg jochen
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
deine verknüpfungstabelle kann nicht stimmen, erstens hast du noch ? drin, 2. gibt es keinen körper mit 4 elementen


und wieso gibt es keinen körper mit vier elementen?
(das fragezeichen war da wohl, weil ich nicht wusste, was ich einsetzen sollte...)

hmm, ich hab die aufgabenstellung bekommen, zwei verknüpfungstabellen zu vervollständigen - die haben jeweils vier elemente... kreis, kreuz, raute und stern (hab das der einfachheit halber mit 0, 1, 2 und 3 ersetzt)


und dann wäre da noch die sache mit den inversen, das hab ich nun wirklich noch nicht verstanden...
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Naja mal als Beispiel die {0,1,2,3} du brauchst bzgl der Multiplikation ein neutrales Element hier bietet sich die 1 an du kannst aber auch ein anderes definieren. Dann muss jedes von 0 verschiedene Element a deines Körpers ein eindeutiges haben so dass . Wobei die 1 wieder das neutrale Element ist. Ausserdem folgt aus das heisst wenn 2 nicht das inverse zur 3 ist sondern zu sich selbst dann muss 2 =-1 sein da die Elemente natürlich eindeutig sind. Dann bleibt aber zur 3 kein Inverses mehr. Also müssen 2 und 3 zueinander invers sein. dann betrachtest du mal Produkte der 2 und der 3 und zeigst dann das dabei Käse rauskommt wennn man ausnutzt das die beiden zueinander invers sind. Da musst du drauf kommen das 2^2 nicht 2 sein kann und analog für die 3 (Stichwort neutrales Element) Naja bissi wirr das ganze geb ich zu aber das ist so das grundsätzliche was man braucht.
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

wir kommen der sache näher...
nur noch mal zum verständnis zusammenfassen:

das neutrale element der addition hat kein inverses
das inverse zum neutralen element der multiplikation ist -1,
sodass 1*-1 = 1

wäre 2 selbstinvers, würde für 3 kein inverses mehr bleiben (weil nur ein element selbstinvers sein kann?)
aber wäre das inverse zu 2 dann nicht 1/2 ?

Zitat:
Zitat:
dann betrachtest du mal Produkte der 2 und der 3 und zeigst dann das dabei Käse rauskommt wennn man ausnutzt das die beiden zueinander invers sind. Da musst du drauf kommen das 2^2 nicht 2 sein kann und analog für die 3 (Stichwort neutrales Element)


<- und da hört es dann endgültig mit dem verständnis auf
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich will hier mit einer gewissen Vorsicht in die Runde schmeissen, dass ich schon vom Galoise-Field GF(4) gehört habe. Am übersichtlichsten wird die Tabellenschreibwise meines Erachtens, wenn man {0, 1, A, B} nimmt. 0 = additiv neutral, 1 = multiplikativ neutral.

Ferner gabs da noch sowas wie:

Für jede Primzahl p und jedes n gibt es genau einen endlichen Körper K mit |K| = p^n.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
   + | 0 1 A B       * | 0 1 A B
   --+--------       --+--------
   0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
   1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
   A | A B 0 1       A | 0 A B 1
   B | B A 1 0       B | 0 B 1 A


Zur Erklärung:

In jedem Körper mit gerade vielen Elementen gilt: x+x = 0

In der Multiplikationstabelle sind die ersten Verknüpfungen mit 0 und 1 klar.

A*B = 1 und B*A = 1, denn A ist ungleich B und weder A noch B können 1 sein.

A*A = B, denn 0 geht nicht, sonst wäre A = 0, 1 geht nicht, denn sonst wäre A = A^-1 und A geht nicht, denn sonst wäre A = 1.
 
 
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

na jetzt ist die verwirrung ja perfekt

gibt es nun körper mit vier elementen?
scheinbar doch schon

und da ist doch a das inverse zu b und umgekehrt
da ja a*b = 1 , oder?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!

0 hat kein Inverses, 1 ist zu sich selbst invers, A und B sind sich gegenseitig invers.
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

und bezüglich des einen körpers mit drei elementen a, b und c

hätte bezüglich der mutiplikation
a als neutrales element der addition kein inverses
und b als neutrales element der multiplikation wäre
wie c zu sich selbst invers


dann noch mal ganz blöd:
das inverse zu einem element liegt auch immer in der menge?
also z.b bei K={0,1,2,3} wäre zwar 3^-1 = 1/3 aber da in den verknüpfungstabellen nie die zahlen an sich gemeint sind, kann das inverse zu 3 auch 2 sein?!


ich schließ gleich noch ne frage an:
nehmen wir die reelen zahlen als körper

darüber ist doch ein unendlicher vektorraum, in dem ich dann mit den gewohnten anwendungen der linearen algebra rechnen kann?!
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

1. Wenn du einen Körper mit p Elementen konstruieren sollst und p ist eine Primzahl (wie z.B. 3), dann handelt es sich immer um die Menge
{0, 1, ...., p-1}. Die Verknüpfungen sind dann die ganz normale Addition und Multiplikation allerdings (modulo p).

Beispiel p = 3.

Die Menge besteht dann aus {0, 1, 2}.

2*2 = 4
4 mod 3 = 1
Also ist 2 zu sich selbst multiplikativ invers.

2+2 = 4
4 mod 3 = 1
also: 2+2 = 1.

2+1 = 3
3 mod 3 = 0
also: 2+1 = 0
1 ist additiv invers zu 2.

usw. Hier brauchst du die Verknüpfungen also nicht selbst suchen.


Das Körperaxiom der inversen Elemente besagt: Eine Menge K ist nur dann ein Körper, wenn zu jedem Element x aus K (ohne 0) auch ein x^-1 aus K existiert mit x*x^-1 = 1. Demnach MUSS jedes Element auch ein Inverses in K besitzen.

Die Zahlen, mit denen man gewöhnt ist zu rechnen sind die reellen Zahlen R. Diese bilden ein Körper. Du musst nun aber Abstand nehmen von den reellen Zahlen und allgemeiner in Körperaxiomen denken. Das Inverse der 3 ist in R vielleicht 1/3, kann in einem anderen Körper aber was ganz anderes sein.

Mit der Verknüpfungstafel definierst du die Abbildungen + und * auf den Elementen, die sich in deiner Körpermenge befinden. Du legst gan stumpf fest: Wenn ich Element x zu Element y addiere, kommt Element z raus. Und das machst du nicht beliebig sondern unter Beibehaltung der Axiome des Körpers.
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

hmm,
also ich weiß ja nicht, in welcher highspeed schule du warst
aber ich hab bis jetzt noch nix von

4 mod 3 = 1

gehört - aber es scheint nicht so schwer zu sein (hoffentlich)


und dann verweise ich noch mal auf den zusatz in meinem vorigen beitrag - der wohl etwas untergegangen ist (vektorräume)
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Sorge, in der Schule hatte ich sowas auch nicht. smile

Ohne zu sehr ins Detail zu gehen ist MOD ist der Rest der Division.

10 mod 8 = 2, denn 10/8 = 1 Rest 2

15 mod 3 = 0, denn 15/3 = 5 Rest 0

2 mod 3 = 2, denn 2/3 = 0 Rest 2

usw.



Ein Vektorraum über R hat einige eigene rechengesetze. Man unterscheidet ja auch Vektorraum und Körper. Ein Vektorraum besteht aus Gebilden, die sich in ihren Komponenten aus reellen Zahlen zusammensetzen. Dann gibt es Rechenregeln wie Addition, Skalarmultiplikation, ggf. auch speziell definierte Multiplikation, etc. Das hängt dann an den Axiomen des Vektorraums.

Hoffe, ich habe die Frage richtig verstanden. (Eigentlich hab ich sie garnicht verstanden)
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

also folgendes:
ich hab drei aufgaben, die ich jetzt gelöst habe

an die lösung dieser aufgaben wird sich in zwei wochen ein gespräch anschließen, in dem dann noch ein bisschen nachfragt werden kann und in dem auch irgendwie die kurve zu einem thema bekommen werden muss, dass wir in 12 und 13 durchgenommen haben

und nach dem suche ich jetzt

themen in 12 und 13
integrale
lineare algebra
stochastik


und ich nehme einfach mal an, dass es auf eines der letzteren beiden hinauslaufen wird - deshlab frage ich nach dem vektorraum


oder hast du ne andere idee auf was die "einleitung" mit den körpern hinauslaufen könnte?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, Körper und Vektorräume passen schon gut zusammen. Du solltest hier also, wenn ihr das durchgenommen habt, nochmal die Zusammenhänge betrachten.

In meinem Abi hatten wir Aufgaben zu Basen, Erzeugendensystemen, etc. Wenn ihr das auch schon hattet, solltest du vielleicht auch mit sowas rechnen?
Zitronenlimo Auf diesen Beitrag antworten »

das dumme ist ja, wir haben das nicht durchgenommen

ich hab noch nie was von nem körper gehört gehabt

deswegen glaub ich nicht, dass ich da sonderlich tief gehen soll



kann man mit körpern auch irgendwas in der stochastik machen?
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