beschränkt und kompakt

05.05.2005, 17:04	PsychoCat	Auf diesen Beitrag antworten »
beschränkt und kompakt Also ich habe folgende Aufgabe, die eigentlich wie man mir sagte ziemlich einfach sein soll: Eine Funktion f:X-> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ heißt lokal beschränkt, wenn jeder Punkt von X eine Umgebung U hat, so dass f(U) beschränkt ist. Zeige, dass eine lokal beschränkte Funktion auf jeder kompakten Menge A in X beschränkt ist. So was ich mir dazu schon überlegt habe ist, dass alle diese Umgebungen von allen Punkten a in A zusammen eine Überdeckung von A bilden. Weil A kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung bestehend aus einer endlichen Anzahl von diesen Umgebungen, die auch wieder ganz A überdecken. So und die Bilder dieser Umgebungen sind natürlich alle immernoch beschränkt. Aber wie folgt daraus jetzt, dass f beschränkt ist? Folgt das überhaupt oder muss man vll ganz anders ansetzen?
05.05.2005, 20:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist doch schon fast fertig! Du bist jetzt bei: Es gibt eine endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray} \{U_{x_1},U_{x_2}, ..., U_{x_n}\} \end{eqnarray}$ . Die Bilder aller dieser Umgebungen sind beschränkt, wie du selbst schon richtig sagtest. Schreib dir doch mal auf, was das bedeutet: Das heißt doch, dass es Konstanten gibt, sodass gilt: $\begin{eqnarray} f(x)\leq M_1\ \forall\ x\in U_{x_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)\leq M_2\ \forall\ x\in U_{x_2} \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} f(x)\leq M_n\ \forall\ x\in U_{x_n} \end{eqnarray}$ Hilft dir das schon weiter?

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