Frage zu: Potenzreihen gegeben, Funktion gesucht!

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börni Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu: Potenzreihen gegeben, Funktion gesucht!
Hallo!

Ich habe folgendes Problem: Welche Funktion(en) wird durch folgende Potenzreihe dargestellt:



Dabei ist z komplex und k eine beliebige, aber feste ganze negative Zahl. 8=unendlich, weil ich hier kein Unendlichzeichen gefunden habe. Der Konvergenzradius ist 1.

Für k=-1 ist das alles kein Problem, aber für k=-2 stosse ich auf folgende Hürde:



Für z=1 und k=-2 ergibt sich das bekannte Problem der Summe der reziproken Quadratzahlen, deren Grenzwert sich z.B. mit Hilfe der Theorie der Fourierreihen oder den Partialbruchentwicklungen von cot etc., die auf die Eulerschen Formeln führen, ermitteln lässt.

Es stellt sich für mich die Frage, ob man mit relativ elementaren Mitteln eine allgemeine Funktion mit dem Parameter k herleiten kann, die die oben genannte Potenzreihenentwicklung um z=0 besitzt. Das Verhalten dieser Funktion bei z=1 ist erstmal nebensächlich, aber da sich z=1 k=-2 schon ziemlich kompliziert verhält, frage ich mich, ob es für mein Problem eine befriedeigende Antwort gibt.
Vielleicht hat jemand eine Idee, wie ich an dieser Stelle weitermachen könnte!?

Danke, börni
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu: Potenzreihen gegeben, Funktion gesucht!
Zitat:
Original von börni


Dabei ist z komplex und k eine beliebige, aber feste ganze negative Zahl.
...

Es stellt sich für mich die Frage, ob man mit relativ elementaren Mitteln eine allgemeine Funktion mit dem Parameter k herleiten kann, die die oben genannte Potenzreihenentwicklung um z=0 besitzt.
Vielleicht hat jemand eine Idee, wie ich an dieser Stelle weitermachen könnte!?


Tja, kleine Anfrage an MAPLE liefert für k=-1 den noch harmlosen Ausdruck -ln(1-z), für andere k leider keine explizite Formel, sondern nur das Symbol

polylog(-k, z)

das über exakt die von dir angegebene Formel definiert ist.

Ich geb noch die Referenz, die in der Hilfeseite gegeben wird, obwohl ich glaube, dass sie dir wenig nützen wird:
L. Lewin, Polylogarithms and Associated Functions, North Holland, Amsterdam, 1981.

Vielleicht bringt es ja was, mit polylog oder so zu googlen.

Gruss,
SirJective
börni Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu: Potenzreihen gegeben, Funktion gesucht!
Danke Sir Jective,

vielleicht bringt mich das ja weiter.

Gruß

börni
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