Konvergenz - Wurzelkriterium

05.05.2005, 18:28

Cosmo

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Konvergenz - Wurzelkriterium

Hallo!

Ich hab da mal eine Frage. Ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac {x^{2n}} {1 + x^{2n}} \end{eqnarray*}$

Es solllen alle x bestimmt werden, für die diese Reihe konvergiert.
Dazu will ich die Folge gerne in die Form $\begin{eqnarray*} {a_n}^n \end{eqnarray*}$ bringen, damit ich das Wurzelkriterium anwenden kann.
Im Zähler ist dies kein Problem: $\begin{eqnarray*} (x^2)^n \end{eqnarray*}$
Aber wie mache ich das im Nenner? Die 1 stört mich irgendwie. :-/

05.05.2005, 19:11

henrik

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Wieso willst da unbedingt Wurzelkriterium machen?

Mach doch lieber Quotientenkriterium

05.05.2005, 19:28

Mathespezialschüler

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@henrik
Nicht so voreilig!!! Was ist denn bitte mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ !!!
edit: Damit mich keiner falsch versteht: henrik hatte vorher geschrieben, $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$ gehe für alle x gegen 1 und deshalb könne die Reihe für kein einziges x konvergent sein!

@Cosmo
Du kannst doch für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ direkt durch eine geometrische Reihe abschätzen!

05.05.2005, 19:30

Cosmo

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Hmm ich wollte das Wurzelkrit. weil es danach aussieht *g*
Ist es nicht so leicht möglich, wie es aussieht?

Dann mach ich das halt über das Quotientkrit.

Danke auf jeden Fall für die Antwort

05.05.2005, 20:19

henrik

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und MSS hatte vorher geschrieben 9 sei prim!!!!

verwirrt

verwirrt

05.05.2005, 20:38

AD

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@henrik & MSS

Warum nimmt nicht jeder einfach das Kriterium, womit er die Aufgabe am besten hinkriegt? Ich würde z.B. das Wurzelkriterium nehmen, bei Fallunterscheidung |x|<1, |x|=1 und |x|>1, weil ich das als einfacheren schnelleren Weg empfinde - aber habe auch nichts gegen das Quotientenkriterium einzuwenden.

P.S.: Vielleicht sollten wir mal einen eigenen Streitthread aufmachen, wo jeder seine persönlichen Dogmen darlegen kann, was wie und warum unbedingt so und nicht anders gelöst werden muss. Big Laugh

Big Laugh

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05.05.2005, 20:40

henrik

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ja und nicht immer auf die kleinen traurig

traurig

ich besuch nunmal kein mathespezialkurs lol

05.05.2005, 20:44

therisen

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Zitat:

Original von henrik
ja und nicht immer auf die kleinen traurig

traurig

Findest du, mit 20 Jahren ist man noch so klein Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

Gruß, therisen

05.05.2005, 20:48

henrik

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jaja aber dann angeben 18 zu sein aber ein bild vom opa!

05.05.2005, 21:43

Mathespezialschüler

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@therisen
Wie kommst du darauf, dass henrik 20 ist??

@Arthur
Ich denke, du hast etwas falsch verstanden! Es geht doch gar nicht um die Art des Kriteriums! Ich weiß auch gar nicht, was henrik hat.
Ich habe mich nur auf seinen Beitrag bezogen, den er dann komplett geändert hat. Vorher stand da nämlich noch gar nichts von irgendeinem Kriterium, sondern, wie oben schon gesagt, sinngemäß ungefähr folgendes:

" $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$ geht für jedes x gegen 1, falls $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ . Damit divergiert die Reihe für jedes x, da $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge bildet."

Das stand da, nicht mehr und nicht weniger. Und dann habe ich ihn darauf hingewiesen, dass im Falle $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}\to 0 \end{eqnarray*}$ geht.

Und noch was an Arthur: Da ich mein Vorgehen am besten finde, muss ich es auch mal publizieren. Für $\begin{eqnarray*} |x|\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge, Divergenz ist trivial. Wegen $\begin{eqnarray*} 1+x^{2n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}\leq x^{2n} \end{eqnarray*}$ ,

womit für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante gefunden wäre.

@henrik
Jeder kann mal Fehler machen, hab ich doch gar nichts dagegen! Aber ist es denn verboten, sie zu verbessern? Vielleicht verstehst du ja auch die zeitliche Reihenfolge nicht, so kommt es mir im Moment vor. Vielleicht denkst du, ich hätte vor meiner Antwort dein Editieren schon gesehen, dem ist aber nicht so. Reihenfolge war: Du hast das falsche geschrieben. Ich hab es gelesen und mit

Zitat:

@henrik
Nicht so voreilig!!! Was ist denn bitte mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ !!!

@Cosmo
Du kannst doch für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ direkt durch eine geometrische Reihe abschätzen!

darauf geantwortet. Du hattest editiert und dann habe ich meinen edit hinzugefügt.

.

05.05.2005, 23:57

Cosmo

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Also irgendwie is das alles kompleziert. Was auch immer ihr hier immer editiert, irgendwas komisch geht in diesem Forum vor. Als ich meinen zweiten Beitrag schrieb, da war der von MSS nicht da und vor allem standen ganz andere Zeiten an den Beiträgen. Egal.

Zurück zu meiner Frage.

Kann ich den Nenner jetzt irgendwie in $\begin{eqnarray*} bla^n \end{eqnarray*}$ Form bringen, oder nicht?

06.05.2005, 08:57

therisen

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http://home.arcor.de/therisen/henrik.JPG
Erwischt

Erwischt

Gruß, der Opa Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2005, 09:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cosmo
Zurück zu meiner Frage.
Kann ich den Nenner jetzt irgendwie in $\begin{eqnarray*} bla^n \end{eqnarray*}$ Form bringen, oder nicht?

Warum willst du den Nenner unbedingt in diese Form bringen? Ich würde das Quotientenkriterium anwenden. Dann steht's in 2 Zeilen da.

06.05.2005, 09:31

AD

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@therisen

*** ROFL ***

Opa Gauß zeigt's im Gauß-Jahr wieder mal allen! Freude

Freude

06.05.2005, 10:34

Cosmo

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Zitat:

Warum willst du den Nenner unbedingt in diese Form bringen? Ich würde das Quotientenkriterium anwenden. Dann steht's in 2 Zeilen da.

Jo. Aber ganz generell wüsste ich gerne ob es fix möglich WÄRE. So im allgemeinen. Damit ich es auch bei anderen Aufgaben anwenden kann.

Nun gut, ich probiere das Quotientenkrit.

06.05.2005, 10:36

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Warum nimmt nicht jeder einfach das Kriterium, womit er die Aufgabe am besten hinkriegt?

Nein! Ich bestehe darauf, das Kummersche Konvergenzkriterium anzuwenden. Nur das ist das richtige! Wehe einer von euch nimmt ein anderes!

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