Gl. einer gebr.rat.Fkt. bestimmen |
| 05.05.2005, 21:04 | keinNameGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gl. einer gebr.rat.Fkt. bestimmen Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter. Ich soll die Funktionsgleichung einer gebrochen.rationalen Funktion bestimmen, aber schaffe es nicht, sie durch einen bestimmten Punkt gehen zu lassen: Eine gebrochen-rationale Funktion f(x) habe eine einfache Nullstelle bei x=0, eine doppelte Nullstelle bei x=1 und Polstellen 1. Ordnung bei x=2 und x=-1. Weitere Nullstellen und Polstellen liegen nicht vor, die Funktion hat keine Lücken. Außerdem verläuft die Funktion durch den Punkt P(3,9). Bestimme die Funktionsgleichung von f(x), die Steigung von f(x) in x=0 und geben sie die Gleichung der Asymptote für x->+- unendlich an. Mein Anfang: einfache Nullstelle x=0: => f(0)=0; f'(0) ungleich 0 doppelte Nullstelle x=1: => f(1)=0; f`(1)=0 Polstellen erster Ordnung: => vertikale Polstellen bei x=2 und x=-1 gebrochen-rationale Funktion: f(x)= P(x) / Q(x) Polstellen sind Stellen, bei denen Q(x)=0 ist => Q(x)=(x-2)(x+1) Nullstellen sind Stellen, bei denen P(x)=0 ist => P(x)=(x-1)x Anscheinend läuft der Graph von f(x)=(x^2-1) / ( (x-2) (x+1) ) durch die richtigen Nullstellen und hat die richtigen Polstellen, aber die Nullstelle x=1 ist keine doppelte Nullstelle und der Graph läuft nicht durch P(3/9). Kann mir jemand einen Tip geben, wie es weitergeht? Danke! |
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| 05.05.2005, 21:24 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tip: eine Funktion mit doppelter Nullstelle bei x=a ist z.B. f(x)=A*(x-a)*(x-a) |
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| 05.05.2005, 22:59 | keinNameGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke etzwane! Jetzt habe ich f(x)= [3*(x-1)*(x-1)*x] / [(x-2)*(x+1)] als Funktionsgleichung herausbekommen und denke, dass alles auf die Beschreibung passt. Für die Steigung bei x=0 habe ich f ' (0) berechnet und -3/2 herausbekommen. Kann mir jemand sagen, ob das stimmt? Ich versuche jetzt, die Asymptotengleichung anzugeben mit einer Polynomdivision P(x) / Q(x). Kann mir da noch jemand kurz helfen, weil ich damit nicht weiter komme? |
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| 05.05.2005, 23:26 | OBdA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gleichung einer gebrochenrationalen Fkt. bestimmen hier nochmal meine Funktionsgleichung in LaTex: |
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| 06.05.2005, 10:44 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'(0)=-3/2 stimmt Zur Durchführung der Polynomdivision musst du zuerst P(x) und Q(x) durch Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner ermitteln, dann geht es ganz einfach, zur Kontrolle: Gleichung der Asymptote = 3x-3 |
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| 06.05.2005, 13:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sehe ich das richtig? ansatz ist klar, wir haben eine funktion , dabei wissen wir über das A nicht viel. wir wissen nur, dass es selbst eine gebrochenrationale funktion ohne null- und polstellen sein soll und das das ganze nachher durch einen speziellen punkt laufen soll. sicher ist das einsetzen eines enstprechenden konstanten faktors am einfachsten, aber da kann man doch auch ganz andere funktionen konstruieren..... edit: soll sagen, eindeutig ist das nicht! |
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| 08.05.2005, 03:34 | OBdA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja, dank LOED verstehe ich nichts mehr. Anscheinend bin ich halt doch zu blöd für Mathe . @LOED: Woher weisst du, dass A eine gebrochenrationale Fkt ist? Woran kann ich an der Aufgabe erkennen, dass "die" eindeutige Lsg gesucht wird? Warum als Q: "(x-2)x+3)" ? PS: bevor du die SkizzenSmileys hier hattest, hatte ich schon über 5 Skizzen gezeichnet |
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| 08.05.2005, 21:08 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm, verwirren wollte ich niemanden! das A ist eine gebrochenrationale funktion, bedenke, dass auch ganz einfach A=1 möglich ist (denn f(x)=1 ist ja auch eine gebriochenrationale funktion). mit A=1 ist das auch gelöst, ich wollte nur feststellen, dass es mit A=1 nicht die einzige Lösung ist! tut mir leid fürs verwirren! |
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