Beweis einer Metrik in R^n

06.05.2005, 12:28

mcmanic

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Beweis einer Metrik in R^n

Hi ich soll einen Beweis führen und stoße immer wieder auf Probleme.

$\begin{eqnarray*} ||a||_1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} ||a||_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||a||_\infty \end{eqnarray*}$ sind Metriken auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$

Man beweise folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{n}}||a||_1\leq ||a||_2\leq \sqrt{n} ||a||_\infty \leq \sqrt{n} ||a||_1 \end{eqnarray*}$

Ansatz über Summenformeln:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{n}}\sum_{k=1}^n~{|a_k|}\leq ( \sum_{k=1}^n~{|a_k|^2})^{\frac{1}{2}}\leq \sqrt{n}\cdot max \{ |a_1|;|a_2|;...;|a_n|\}\leq \sqrt{n} \sum_{k=1}^n~{|a_k|} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich nen Tip bekommen es über die Identität zu machen und den ersten Teil der Summenungleichung wie folgt zuschreiben:

$\begin{eqnarray*} n\sum_{k=1}^n~|a_k|^2 -(\sum_{k=1}^n~|a_k|^2)^2 = \sum_{k=1}^n~ \sum_{l=k+1}~(|a_k|-|a_l|)^2 \end{eqnarray*}$

so und da hörts bei mir vollkommen auf, wie komm ich auf diese ungleichung. Ich soll das dann mit vollst. Induktion lösen und weiter sehen.

Bin vollkommen überfragt.

*HELP*

06.05.2005, 12:44

Mathespezialschüler

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Verschoben

Hast du es schonmal mit der Cauchy-Schwazschen Ungleichung versucht?
Damit ist die erste Ungleichung einfach. Die zweite Ungleichung ist trivial und die dritte noch viel trivialer als die zweite! Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2005, 12:49

mcmanic

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kannst du mir vielleicht etwas auf die Sprünge helfen was es mit dieser Ungleichung auf sich hat? Bzw. wie ich das auf mein Problem anwende. Ich denk selber auch noch nen bissl drüber nach...vielleicht machts ja noch klick

06.05.2005, 13:08

Mathespezialschüler

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Hhhm, anscheinend ist die wichtige Frage, ob du die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung kennst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|a_kb_k|\leq \left(\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^n~b_k^2\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Schonmal gesehen?

06.05.2005, 13:16

mcmanic

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ja eben das erste mal gesehen als ich sie mir bei euch im Lexikon angeschaut habe. Aber ansonsten keine ahnung wie ich das nun anwende.

06.05.2005, 13:34

Mathespezialschüler

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Wenn du irgendwie an einer Uni bist und ihr die in der Vorlesung noch nicht hattet, dann darfst du sie ja auch nicht benutzen oder?
Egal. Setz doch mal alle $\begin{eqnarray*} b_k=1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

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06.05.2005, 13:43

mcmanic

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Hab sie in meinen Unterlagen gefunden .... also darf ich sie auch benutzen ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

gut hab auch verstanden wie ich sie anwende ... nur leider zählt das noch nicht als beweis ... ich müsste jetzt rein theoretisch diese Ungleichung beweisen und zwar mit der riesen Summenfolge die ich vom Übungsleiter als Hilfe bekommen habe.

06.05.2005, 14:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von mcmanic
nur leider zählt das noch nicht als beweis

Warum nicht?

06.05.2005, 18:25

mcmanic

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Weil wenn das der Beweis wäre , würde ja das Ergebnis schon in der Aufgabe stehen ... denn das Was ich oben als zweiten Schritt geschrieben habe ist ja nach die die Cauchy schwarzsche Ungleichung ... wie gesagt es muss über den Induktionsschritt weiter bewiesen werden,.... unser Übungsleiter gibt uns den Tip ja nicht für umsonst oder?

06.05.2005, 20:33

Mathespezialschüler

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Halt, halt! Wo steht das Ergebnis in der Aufgabe? Du sollst doch beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n~|a_k|\leq \left(\sum_{k=1}^n~|a_k|^2\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

gilt, mehr nicht! Und der Beweis ist wie gesagt für alle n in zwei Zeilen fertig. Mir ist es, ehrlich gesagt, sch*** egal, was dein Übungsleiter sagt. Man muss da gar nichts mit Induktion machen!
Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|a_k|=\sum_{k=1}^n~|a_k\cdot 1|\leq \left(\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^n~1^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Also gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n~|a_k|\leq \left(\sum_{k=1}^n~a_k^2\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Fertig!!

07.05.2005, 03:05

mcmanic1

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hm nuja gut ... klingt ja so ganz einleuchtend ... und wie nun mit dem max{...} gibts da auch eine Ungleichung die ich für nehmen muss oder so?

07.05.2005, 20:30

Mathespezialschüler

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Die Ungleichung ist doch völlig trivial! Sei $\begin{eqnarray*} a:= \max \{|a_1|,...,|a_n|\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist für alle k $\begin{eqnarray*} |a_k|\leq a \end{eqnarray*}$ . Hilft dir das?

08.05.2005, 00:12

mcmanic

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hilft mir in sofern nicht sonderlich weiter da ich das schon wusste ... is ja auch logisch. Nur warum ist die summe dann kleiner als das max ding und das wieder kleiner als die andere Summe? Ich find da einfach nicht die richtige mathematische schreibweise für oder ich denk zu umständlich!

08.05.2005, 00:21

Mathespezialschüler

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Aus $\begin{eqnarray*} |a_k|\leq a \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |a_k|^2\leq a^2 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} |a_1|^2\leq a^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |a_2|^2\leq a^2 \end{eqnarray*}$ , ..., $\begin{eqnarray*} |a_n|^2\leq a^2 \end{eqnarray*}$ .
Was folgt dann für die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|a_k|^2=|a_1|^2+|a_2|^2+...+|a_n|^2 \end{eqnarray*}$

??

08.05.2005, 00:29

mcmanic

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~|a_k|^2 \leq n\cdot a^2 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~|a_k|^2)^\frac{1}{2} \leq \sqrt{n}\cdot a \end{eqnarray*}$

und dann für a wieder max... hinschreiben. Bin ich soweit aufm richtigen Weg?

08.05.2005, 00:35

Mathespezialschüler

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Ja, so ists richtig!

08.05.2005, 00:44

mcmanic

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Ja ok jetzt hats auch bei mir endlich klick gemacht ... das letzte ist ja dann auch easy ... ok ich danke dir vielmals für deine Hilfe.

08.05.2005, 20:24

Mathespezialschüler

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Bitte schön! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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