Taylor-Polynom, Gernzwerte, minima & Maxima!

06.05.2005, 14:05

eldios

Taylor-Polynom, Gernzwerte, minima & Maxima!

hu!
ich schon wieder.
hab eine alte klausur ausgegraben und hab die aufgaben gerechnet nun möchte ihc wissen ob ich es richtig gemacht hab (wobei hc denk ich hab bei der ableitung mal wieder nen fehler drinnen, finde ihn aber nicht)

also die aufgabe war:

Gegeben sei die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2*e^x-1 \end{eqnarray*}$

a) Berechnen sie das Tylorpolynom T3(x,x0) dritten Grades zum Entwicklungspunkt x0=0.

als erstes hab ich die drei Ableitungen gemacht:

f´(x) $\begin{eqnarray*} =2x*e^x+x^2*e^x \end{eqnarray*}$
f´´(x) $\begin{eqnarray*} =2*e^x+2x*e^x+2x*e^x+x^2*e^x \end{eqnarray*}$
f´´´(x) $\begin{eqnarray*} =2*e^x+2*e^x+2x*e^x+2*e^x+2x*e^x+2x*e^x+x^2*e^x \end{eqnarray*}$

dann hab in jede ableitung x=0 eingesetzt.
f(0)=-1
f´(0)= 0
f´´(0)=2
f´´´(0)=6

dann die tylorformel aufgestellt und ausgerechnet

$\begin{eqnarray*} t3(x,x0)=-1x+\frac{0}{1!}*x+ \frac{2}{2!}*x^2+ \frac{6}{3!}*x^3=-x+ \frac{2}{3}x^2+ \frac{6}{6}x^3 \end{eqnarray*}$

b)Berechnen sie die beiden Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to -\infty} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ .

DAs hab ich wie folgt gemacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to -\infty} x^2*e^x-1 \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} x^2*e^x-1 \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

c)Berechnen sie die lokalen Minima und Maxima der Funktion f(x).

SO damit hab ich soweit die meissten probleme.

ich hab die erste ableitung genommen und f(x)=0 gesetz.

$\begin{eqnarray*} 2x*e^x+x^2*e^x=0 \end{eqnarray*}$

e^x ausgeklammert.
$\begin{eqnarray*} e^x*(2x+x^2)=0 \end{eqnarray*}$

und geuckt wo die gleichung 0 wird. da hab ich x1=0 und x2=-2 raus.

nun hab ich x1 und x2 in die zweite ableitung eingesetz und raus bekommen f´´(0)=1 und f´´(-2)= -0,27 wo bei ich da denke hab ich irgendwo ein fehler gemacht und falls es richtig sein sollte wie komm ich jetzt weiter das ich minima und maxima bestimmen kann?

danke für eure mühe hier meine fehler zuentdecken.

06.05.2005, 14:21

klarsoweit

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RE: Taylor-Polynom, Gernzwerte, minima & Maxima!
Also die Nullstellen der 1. Ableitung stimmen. Die 2. Ableitung habe ich jetzt nicht kontrolliert. Maximum ist da, wo f'(x) = 0 und f''(x) < 0 und Minimum ist da, wo f'(x) = 0 und f''(x) > 0.

07.05.2005, 13:26

eldios

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kann vielleicht noch jemand gucken ob die ableitungen soweit richtig sind.
und wie rechnet man am besten mit e^x und ln im kopf??
wenn das in der aufgabe ist muss ich immer mit nem taschenrechner ran weil ich nich weiss wie man das im kopf rechnet.

edit
und dann gab es noch den ersten teil.

da sollte man bei

a) den grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ da hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ raus.

b) Unterscuhe folgende REihe auf Konvergenz $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ke^{-k^2} \end{eqnarray*}$
das weiss ich nicht genau wie man das macht, aber ich denke man muss hier mit demquotientenkriterium arbeiten oder???

c) Für welche natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} n!\geq 3^n \end{eqnarray*}$

überhaupt keine ahnung was ich da machen soll.
please help

edit: latex-Code verbessert, Exponenten müssen in geschweifte Klammern! (MSS)

07.05.2005, 13:50

Deakandy

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Zitat:

Original von Deakandy
2.Beispiel
Für alle n€|N, $\begin{align*} n\geq5 \end{align*}$ gilt:
$\begin{align*} 2^n > n^2 \end{align*}$
IA: Für n=5 gilt $\begin{align*} 2^n =2^5 =32 > 25 =5^2=n^2 \end{align*}$
IV:Es gelte für ein $\begin{align*} n \geq 5 \end{align*}$
IS: n|--> n+1
Es ist also zu zeigen, dass
$\begin{align*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{align*}$
beginnt man auf der linken Seite so erhält man
$\begin{align*} 2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 > (n+1)^2 \end{align*}$
nun kann man für $\begin{align*} 2^n \end{align*}$ per induktionsvorraussetzung $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ einsetzen
$\begin{align*} 2 \cdot n^2 > (n+1)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} n^2+n^2 > n^2 +n(2+\frac {1} {n}) = (n+1)^2 \end{align*}$

Dies gilt weil $\begin{align*} n\geq3 > 2+ \frac {1} {n} \end{align*}$
Man beachte hier, dass die Ausage auch für n=1 gilt.
Die Behauptung wurde per Induktionsbeweis bewiesen.
Eine eventuell elegantere Lösung, die weniger Zweifel mit sich bringt

Zitat:

Original von SirJective
Ich formuliere DeakAndys Beweis mal so um, dass klar wird, was er gemeint hat.

Für alle $\begin{align*} n\in N, n\geq5 \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} 2^n > n^2 \end{align*}$
IA: Für n=5 gilt $\begin{align*} 2^n =2^5 =32 > 25 =5^2=n^2 \end{align*}$
IV:Es gelte für ein $\begin{align*} n \geq 5 \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} 2^n > n^2 \end{align*}$ .
IS: n|--> n+1
Es ist also zu zeigen, dass $\begin{align*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{align*}$ .
Durch Umformung der linken Seite erhält man die äquivalente Aussage $\begin{align*} 2^n \cdot 2^1 > (n+1)^2 \end{align*}$ .
Die folgt mit der Induktionsvorraussetzung ( $\begin{align*} 2\cdot 2^n > 2 \cdot n^2 \end{align*}$ ) aus der (noch zu zeigenden!) Aussage $\begin{align*} 2 \cdot n^2 > (n+1)^2 \end{align*}$ .
In letzterer Ungleichung beide Seiten etwas umgeformt erhält man die äquivalente Ungleichung $\begin{align*} n^2+n^2 > n^2 +n(2+\frac {1} {n}) \end{align*}$ .

Diese ist für $\begin{align*} n\geq5 \end{align*}$ erfüllt, weil offensichtlich $\begin{align*} n\geq3 > 2+ \frac {1} {n} \end{align*}$ ist.

Was DeakAndy hier gemacht hat, ist: Er hat an jeder Stelle ein hinreichende Bedingung für die Erfülltheit der vorigen Aussage angegeben, d.h. er sagt: Wenn die zweite Aussage gilt, dann gilt auch die erste.

Leopold: Dein "Beweis" hat mit diesem Schema gar nichts zu tun, da du sagst: Wenn die erste Aussage gilt, dann gilt auch die zweite. Und dabei wagst du es *g*, mit 0 zu multiplizieren.

Wenn du nun die Reihenfolge der Argumentation in DeakAndys Beweis umdrehst, erhältst du einen "sauberen" Beweis, den jeder nachvollziehen kann.

Gruss,
SirJective

Es gibt sicher noch eine andere Methode, in der man nicht abschätzen muss.
Dazu ein anderes Beispiel, das ebenfalls aus einer Ungleichung besteht.

07.05.2005, 13:57

eldios

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ok da hab cih net richtig geguckt geschockt

*EDIT*

und wie berechne ich die reihe von aufgabe b)???

07.05.2005, 22:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von eldios
$\begin{eqnarray*} t3(x,x0)=-1x+\frac{0}{1!}*x+ \frac{2}{2!}*x^2+ \frac{6}{3!}*x^3=-x+ \frac{2}{3}x^2+ \frac{6}{6}x^3 \end{eqnarray*}$ .

Bis zu der Gleichung ist alles richtig. Dann hast du einmal ne falsche Taylorformel benutzt! Die Taylorformel ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)+f'(0)x+... \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(0)=-1 \end{eqnarray*}$ ist, müsste da $\begin{eqnarray*} t_3(x,x_0)=-1+\frac{0}{1!}\cdot x+ \frac{2}{2!}\cdot x^2+ \frac{6}{3!}\cdot x^3 \end{eqnarray*}$ stehen. Also "-1" und nicht "-1x"! Und seit wann ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2!}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ? Wenn du die beiden Fehler verbesserst, wirds richtig. Und wegen $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2}=\frac{6}{6}=1 \end{eqnarray*}$ kann man es auch noch etwas schöner schreiben! Es wäre auch viel einfacher gegangen. Man darf Taylorreihen/-polynome mit "normalen" Polynomen multiplizieren, das ist viel einfacher als dann die Ableitungen mit Produktregel zu berechnen. Soll heißen, z.B. ist

$\begin{eqnarray*} x^3\sin x=x^3\cdot \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\pm ...\right)=x^4-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{5!}\pm ... \end{eqnarray*}$

Da du das Taylorpolynom 3. Grades berechnen solltest und vor $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ steht, brauchst du das Taylorpolynom 1. Grades von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ , das ist $\begin{eqnarray*} 1+x \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\operatorname{e}^x-1 \end{eqnarray*}$ ist, wird $\begin{eqnarray*} t_3(x,x_0)=x^2(1+x)-1=-1+x^2+x^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von eldios
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to -\infty} x^2*e^x-1 \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} x^2*e^x-1 \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to -\infty} x^2\cdot \operatorname{e}^x-1=x^2\cdot \operatorname{e}-1 \end{eqnarray*}$ . Meinst du vielleicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x^2\cdot \operatorname{e}^x-1 \end{eqnarray*}$

?? Dann schreib das bitte auch! In deinem zweiten Post hast du den gleichen Fehler mit a und k nochmal gemacht.
Außerdem ist die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x^2\cdot \operatorname{e}^x-1 \to 0 \end{eqnarray*}$ (ich denke, so wolltest du es schreiben und nicht mit einem Doppelpfeil) falsch! Ein Grenzwert ist ein Wert. Es ist falsch, zu sagen "der Grenzwert geht gegen 0"! Genau das hast du aber (mit mathematischer Sprache) gemacht. Entweder du schreibst

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x^2\cdot \operatorname{e}^x-1=0 \end{eqnarray*}$

(was heißt: "Der Grenzwert ist gleich 0") oder

$\begin{eqnarray*} x^2\cdot \operatorname{e}^x-1 \to 0\ \ \ \mbox{ für }\ x\to -\infty \end{eqnarray*}$ .

(was heißt, ... geht gegen 0 für x gegen -unendlich). Aber dass der Grenzwert 0 ist, ist sowieso falsch, wie kommst du darauf? Wogegen geht denn $\begin{eqnarray*} x^2\cdot \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ ??
Bei dem zweiten Grenzwert gilt für die Schreibweise genau das gleiche wie eben. Es ist aber zumindest richtig, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} x^2\cdot \operatorname{e}^x-1=+\infty \end{eqnarray*}$

gilt. Nur ist deine Schreibweise, wie angesprochen, in zweierlei Hinsicht falsch!

Zur Aufgabe c) mit den Extrema: Es ist f''(0)=2. Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\operatorname{e}^x(x^2+4x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-2)\approx -0,27 \end{eqnarray*}$ ist aber richtig. Was jetzt ein Maximum und was ein Minimum ist, steht ja bei klarsoweit.

Und was ist denn mit dem im Kopf rechnen? Meinst du wegen der zweiten Ableitung? Dazu brauchst du den TR nicht.

Zitat:

Original von eldios
a) den grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ da hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ raus.

Wegen der Schreibweise siehe oben. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$

Und: Hier ist schon wieder ein Verständnisfehler! Wie oben schon gesagt, geht der Grenzwert nicht gegen einen Wert, sondern er ist ein feststehender Wert. Hier ein ähnlicher Fehler. Entweder du schreibst

"Berechne den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to \infty \end{eqnarray*}$ "

oder

"Berechne den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ "

aber nicht

"Berechne den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ "!!!

Dass der Grenzwert 0,25 ist, ist auch falsch. Wie kommst du darauf?

Zitat:

Original von eldios
b) Unterscuhe folgende REihe auf Konvergenz $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ke^-k^2 \end{eqnarray*}$

das weiss ich nicht genau wie man das macht, aber ich denke man muss hier mit demquotientenkriterium arbeiten oder???

Du musst gar nichts! Eine Möglichkeit wäre das Integralkriterium. Und es gibt sicher auch noch ganz andere. Du kannst aber auch das Quotienten- oder Wurzelkriterium benutzen. Beide führen hier zum Ziel.

Zitat:

Original von eldios
und wie berechne ich die reihe von aufgabe b)???

Du musst ihren Wert doch gar nicht berechnen, du musst nur feststellen, ob sie konvergiert oder divergiert!
Zu Aufgabe c) hat Deakandy ja schon gesagt, dass sie mit Induktion lösbar ist! Es geht aber auch einfacher:
Man findet schnell heraus, dass die erste Zahl, für die die Ungleichung gilt, 7 ist: Es gilt sogar $\begin{eqnarray*} 7!>3^7 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k\geq 7 \end{eqnarray*}$ ist insbesondere $\begin{eqnarray*} k>3 \end{eqnarray*}$ . Kannst du damit die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n!=n(n-1)\cdots 8\cdot 7!>...=3^n \end{eqnarray*}$ selbst ergänzen?

09.05.2005, 15:59

eldios

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ersteinmal ein dickes danke für deine antowrt.

so bei b) mit -oo geht es auch gegen +oo oder?

wie ich dadrauf gekommen bin weiss ich eigentlich auch nicht mehr so richtig.
wenn ich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ hab und x -> -oo dann geht das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ doch gegen 0?

das mit dem kofprechnen mein ich wenn in der aufgabe $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ oder ln x vorkommt wie ich das abschätzen kann was daraus kommt. zum beispiel bei der aufgabe mit dem taylor muss ich ja x0 überall einsetzen, damit ich einen wert rausbekommen kann, den ich dann in der endformel bei taylor hinschreiben kann. die werte hab ich mit dem taschenrechner rausbekommen, da ich nciht weiss wie ich das im kopf rechnen soll.
das mein ich. (falls man das verstanden hat, was ich meine)

dann zum grenzwert von a) $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ da hab ich einfach durch das $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ geteilt, weil man ja durch die höchste potenz teilt die in dem bruch vorkommt oder nicht?

Könntest du vielleicht mir die aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ke^{-k^2} \end{eqnarray*}$
vielleciht mal mit dem quotienten und wurzelkriterium die konvergnz zeigen?

achso und das mit dem pfeil tut mir leid, wollt das eigentlich so schreiben hab aber im formeleditor den pfeil nciht gesehn. (wie macht man den denn??)

edit: latex-Code verbessert, Exponenten müssen in geschweifte Klammern! (MSS)

09.05.2005, 16:50

Mathespezialschüler

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Hi!
Der Pfeil, den ich gemacht hab, geht mit "\to". Wenn du mehr als ein Zeichen in den Exponenten schreiben willst, dann musst du geschweifte Klammern darum setzen! Beispiel: Für $\begin{eqnarray*} e^{-k^2} \end{eqnarray*}$ musst du e^{-k^2} schreiben!
Wenn du mal sehen willst, wie jmd. etwas geschrieben hat mit latex, dann gehe mit der Maus auf den latex-Code, drücke die rechte Maustaste und klicke auf "Eigenschaften". Dort steht dann der Code. Alternativ kannst du auch eine Zitatantwort machen, da siehst du dann den gesamten "Quelltext".

Zitat:

Richtig, $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}\operatorname{e}^x=0 \end{eqnarray*}$ . Und es ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}x^2\operatorname{e}^x=0 \end{eqnarray*}$ (was nicht so ohne weiteres aus der obigen Sache folgt). Was ist denn dann wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}x^2\operatorname{e}^x-1 \end{eqnarray*}$ ??? (Hast du vll die -1 übersehen?)

Zum Kopfrechnen wegen Taylor: Da $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist, ist das doch hier besonders einfach, wozu braucht man denn da nen Taschenrechner? Du brauchst ja nichtmal zu wissen, was $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^0 \end{eqnarray*}$ ist, obwohl du das wissen solltest! Und jetzt sag mir mal bitte, wo du bei den Ableitungen nicht ohne TR weiterkommst!

Zitat:

Original von eldios
dann zum grenzwert von a) $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k^2-2k+4}{k^3+4k^2-2k} \end{eqnarray*}$ da hab ich einfach durch das $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ geteilt, weil man ja durch die höchste potenz teilt die in dem bruch vorkommt oder nicht?

Ist $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ denn hier wirklich die höchste Potenz??

Zitat:

Original von eldios
Könntest du vielleicht mir die aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ke^-k^2 \end{eqnarray*}$
vielleciht mal mit dem quotienten und wurzelkriterium die konvergnz zeigen?

Schreib dir doch erstmal hin, wie der Quotient bzw. die Wurzel aussehen! Siehst du es dann nicht selbst?

09.05.2005, 17:36

eldios

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eldios
so bei b) mit -oo geht es auch gegen +oo oder?

wie ich dadrauf gekommen bin weiss ich eigentlich auch nicht mehr so richtig.
wenn ich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ hab und x -> -oo dann geht das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ doch gegen 0?
[quote]Original von Mathespezialschüler
Richtig, $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}\operatorname{e}^x=0 \end{eqnarray*}$ . Und es ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}x^2\operatorname{e}^x=0 \end{eqnarray*}$ (was nicht so ohne weiteres aus der obigen Sache folgt). Was ist denn dann wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}x^2\operatorname{e}^x-1 \end{eqnarray*}$ ??? (Hast du vll die -1 übersehen?)

hab ich wohl tatsächlich übersehn! das wäre dann -1.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zum Kopfrechnen wegen Taylor: Da $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist, ist das doch hier besonders einfach, wozu braucht man denn da nen Taschenrechner? Du brauchst ja nichtmal zu wissen, was $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^0 \end{eqnarray*}$ ist, obwohl du das wissen solltest! Und jetzt sag mir mal bitte, wo du bei den Ableitungen nicht ohne TR weiterkommst!

ok hier bruach man den vielleicht nicht aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^0 \end{eqnarray*}$ is gleich 1

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ist $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ denn hier wirklich die höchste Potenz??

man muss doch die nehmen die im nenner und im zähler vorkommt. also die
$\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Schreib dir doch erstmal hin, wie der Quotient bzw. die Wurzel aussehen! Siehst du es dann nicht selbst?

kann das sein das das divergent ist?
bei mir geht es gegen oo und damit wäre es ja
divergent

09.05.2005, 19:06

Mathespezialschüler

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Wenn du den TR nicht benutzen dürfen solltest, dann sind die Aufgaben auch so gestellt, dass du ihn nicht brauchen wirst!

Zitat:

Original von eldios

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ist $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ denn hier wirklich die höchste Potenz??

man muss doch die nehmen die im nenner und im zähler vorkommt. also die
$\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$

Muss man nicht. Man kann auch die höchste Potenz des gesamten Bruches nehmen. Aber wenn du $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, dann bleibt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{2}{k}+\frac{4}{k^2}}{k+4-\frac{2}{k}} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du das k im Nenner aber vergessen bei deiner Grenzwertberechnung. Der Zähler geht natürlich gegen 1. Im Nenner geht $\begin{eqnarray*} \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$ gegen 0. Aber $\begin{eqnarray*} k+4 \end{eqnarray*}$ geht gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ !! Du hast also 1 durch etwas, was gegen unendlich geht. Was kommt da wohl raus?

Zitat:

Original von eldios
...
kann das sein das das divergent ist?
bei mir geht es gegen oo und damit wäre es ja
divergent

Nein, das stimmt nicht. Rede doch nicht immer so viel davon, was du rausbekommst, sondern lieber mehr davon wie du es rausbekommst!? Augenzwinkern

Deswegen sollst du mal hinschreiben, was du für den Quotienten bzw. die Wurzel bekommst, und zwar hier rein am besten!

09.05.2005, 20:20

eldios

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mein ansatz sit mit dem wurzelkriterium so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ke^{-k^2} : \sqrt[k]{ke^{-k^2}}= ke^{-k} \end{eqnarray*}$

und weiter weiss ich nicht.

10.05.2005, 18:30

Mathespezialschüler

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Das stimmt aber nicht! Wurzelgesetze beachten!

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k\operatorname{e}^{-k^2}}=\sqrt[k]{k}\operatorname{e}^{-k} \end{eqnarray*}$

Und selbst wenn die k-te Wurzel da nicht mehr stehen würde, (also so wie du es hast), würde das trotzdem noch konvergieren. Wogegen geht denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} \end{eqnarray*}$ und wogegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{-k} \end{eqnarray*}$ für k gegen unendlich?

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