Identität bei Zufallsvariablen

06.05.2005, 14:30

Poldi

Identität bei Zufallsvariablen

Hallo Ihr Lieben,

kann mir jemand sagen, ob man aus $\begin{eqnarray*} P_{X_1} = P_{X_2} \end{eqnarray*}$ folgern kann $\begin{eqnarray*} id_{X_1(\Omega_1)} =id_{X_2(\Omega_2)} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X_1:\Omega_1 ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2:\Omega_2 -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

Eigentlich glaube ich nicht, dass diese Folgerung gilt, aber es würde mir so schön in meinen Beweis passen ...

Gruß
Poldi

06.05.2005, 14:37

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RE: Identität bei Zufallsvariablen
Was soll dieses $\begin{eqnarray*} id_{X_1(\Omega_)} \end{eqnarray*}$ bedeuten - die identische Abbildung? verwirrt

06.05.2005, 14:41

JochenX

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also ich vermute, es geht hier darum, dass auf der menge aller werte die eine reelle zufallsvariable annehmen kann (teilmenge von IR) eine weitere abbildung definiert wird.

ich vermute, dass $\begin{eqnarray*} P_{X_1} \end{eqnarray*}$ die verteilung von einer ZV X1 ist?
wenn ja, dann ist diese bedingung für die identiätsgleichheit sogar mehr als hinreichend.
es würde dann bereits reichen, das X1(OMEGA1)=X2(OMEGA2) ist.......

06.05.2005, 14:45

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Zitat:

Original von LOED
ich vermute, dass $\begin{eqnarray*} P_{X_1} \end{eqnarray*}$ die verteilung von einer ZV X1 ist?

Das ist völlig unstreitig und auch übliche Symbolik:

$\begin{eqnarray*} P_X(A)=P(X\in A)=P\left(X^{-1}(A)\right) \end{eqnarray*}$ , (A ... Borelmenge aus IR)

sind nur drei verschiedene Schreibweisen desselben Sachverhalts: des Bildmaßes von P bei Transformation X, vom Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

06.05.2005, 14:49

JochenX

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klare sache, arthur, ich wollte hier nur nicht von etwas ausgehen, dessen ich mir nicht ganz sicher war.
stimmst du denn ansonsten mit meiner aussage überein?!

zumindest würde ich die schreibweise $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ als funktion f über der menge A verstehen....
und dann wäre hieja wirklich nur die elemente der menge A wichtig, eine abbildung vorher (von irgendwo nach A) wäre ja hier nicht von bedeutung....

oder?

06.05.2005, 15:01

Poldi

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RE: Identität bei Zufallsvariablen

Zitat:

Original von Arthur Dent
Was soll dieses $\begin{eqnarray*} id_{X_1(\Omega_)} \end{eqnarray*}$ bedeuten - die identische Abbildung? verwirrt

Ja, so ist es. Leider kann ich mir darunter nicht so wirklich was vorstellen...

Zitat:

Original von LOED
ich vermute, dass $\begin{eqnarray*} P_{X_1} \end{eqnarray*}$ die verteilung von einer ZV X1 ist?

Ja, das stimmt.

Zitat:

Original von LOED
es würde dann bereits reichen, das X1(OMEGA1)=X2(OMEGA2) ist.......

Das ist aber doch gar nicht unbedingt der Fall, oder? Ich dachte, dass auch zwei unterschiedliche Zufallsvariablen die gleiche Verteilung haben können und es ist ja nur die Gleichheit der beiden Verteilungen vorausgesetzt. verwirrt

06.05.2005, 15:05

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RE: Identität bei Zufallsvariablen
Mir geht's jetzt ähnlich wie LOED - ich verstehe einfach den Sinn der Aufgabe nicht: Die identische Abbildung auf IR ist einfach die identische Abbildung auf IR, egal was die Verteilungen von X1 und X2 machen, die können also auch verschieden sein.

06.05.2005, 15:10

JochenX

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die zufallvariablen müssen nicht gleich sein, aber ihre wertemenge schon (zugleich muss noch die wahrscheinlichkeit, dass sie einen wert trifft gleich sein)

beispiel mit ungleichen zufallsvariablen wären folgende ZVs X, Y:
1) experiment würfelwurf, ausgänge seien {1,2,3,4,5,6}
es gilt: X(a)=1, wenn a gerade, X(a)=0, sonst
P(X=1)=0,5, P(X=0)=0,5
2) experiment: münzwurf, {K, Z} mögliche ausgänge
Y(K)=0, Y(Z)=1
P(Y=1)=0,5, P(Y=0)=0,5

und X, Y sind gleichveteilt, aber definitiv nicht identisch.
aber ihre wertemenge ist natürlich gleich.

06.05.2005, 15:18

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RE: Identität bei Zufallsvariablen

Zitat:

Original von Poldi

Zitat:

Original von Arthur Dent
Was soll dieses $\begin{eqnarray*} id_{X_1(\Omega_)} \end{eqnarray*}$ bedeuten - die identische Abbildung? verwirrt

Ja, so ist es. Leider kann ich mir darunter nicht so wirklich was vorstellen...

Zumindest soviel, dass du es unbedingt in deinem Beweis verwenden willst. Was ist das für ein Beweis - dann verstehen wir vielleicht besser, was du beabsichtigst.

06.05.2005, 16:21

Poldi

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Sorry, hat etwas gedauert: Schwiegermutter war gerade da...

Also:

Ich soll eigentlich beweisen, dass unter den bereits geschilderten Voraussetzungen gilt:

$\begin{eqnarray*} E_P(X1) = E_P(X2) \end{eqnarray*}$

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} E_P(X1) = E_{P(X1)(id_{X1(\Omega_1)})} \end{eqnarray*}$ . Dies ist die Anwendung eines Satzes in meinem Skript (und nur deshalb kommt überhaupt die Identität da rein...). Mit der gegebenen Voraussetzung gilt dann:

$\begin{eqnarray*} = E_{P(X2)(id_{X1(\Omega_1)})} \end{eqnarray*}$ und jetzt der Schritt, der meine Ausgangsfrage begründet:

$\begin{eqnarray*} = E_{P(X2)(id_{X2(\Omega_2)})} \end{eqnarray*}$ und dann wieder der bereits in Schritt 1 verwendete Satz:

$\begin{eqnarray*} = E_P(X2) \end{eqnarray*}$

Vielleicht unabhängig von diesem Beweis noch einmal eine Frage an LOED: Dein Beispiel mit Würfel und Münze ist super und ich kann bis dahin folgen. Wenn Du mir jetzt noch sagen könntest, was in diesem Beispiel $\begin{eqnarray*} id_{X(\Omega)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} id_{Y(\Omega')} \end{eqnarray*}$ ist, wäre mir das eine riesige Hilfe.
Nur zur Sicherheit: $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1, ...,6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega' = \{K, Z\} \end{eqnarray*}$ , nicht wahr?

06.05.2005, 16:52

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Wie LOED schon richtig gesagt hat: $\begin{eqnarray*} X_1(\Omega_1) \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} X_2(\Omega_2) \end{eqnarray*}$ sind nur Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Insofern kann man die identischen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}_{X_1(\Omega_1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}_{X_2(\Omega_2)} \end{eqnarray*}$ als Einschränkungen von $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ auf einen ggfs. kleineren Definitionsbereich auffassen. Für die Erwartungswertberechnung ist das aber belanglos, also könntest du argumentieren

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}_P(X_1)=\mathbb{E}_{P_{X_1}}\left(\mathrm{id}_{X_1(\Omega_1)}\right)=\mathbb{E}_{P_{X_1}}\left(\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right)=\mathbb{E}_{P_{X_2}}\left(\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right)=\mathbb{E}_{P_{X_2}}\left(\mathrm{id}_{X_2(\Omega_2)}\right)\mathbb{E}_P(X_2) \end{eqnarray*}$

06.05.2005, 18:40

Poldi

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Ja super, damit bin ich doch am Ziel!

Vielen lieben Dank, meine Herren und vermutlich bis bald....

Gruß Poldi

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