Grundintention der Funktionsschar ?

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Moonbane Auf diesen Beitrag antworten »
Grundintention der Funktionsschar ?
Hallo

ich mach mein Abi über die SGD nach.

habe einige Fragen zu Funktionsscharen.

Ich kann sie diskutieren, allerdings nicht aus Verständnis heraus, sondern durch stures Auswendiglernen des Weges und nur über den Umweg, für den Parameter einen speziellen Wert anzunehmen.

In der Theorie soll mir die Ganze Sache ja helfen (einfacher machen) aber aus meinen Lehrheften heraus kapiere ich die Idee dahinter nicht.
Mein Fernlehrer ist auch nur begrenzt hilfreich.

Habe gar keine Probleme mit der Diskussion "normaler" Funktionen.


Kann mir jemand mal anhand einer ganzrationalen Funktion(schar)
die Grundidee, Unterschiede zur normalen Diskussion und einen Diskussionsanhalt für Scharen skizzieren/erklären?


Danke
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich gibt es bei einer "normalen" Diskussion ohne Hüllkurve/Ortskurve oder solchen Besonderheiten eigentlich keinen Unterschied außer dass du halt den Parameter, der die Schar definiert, in allen Gleichungen mitnimmst. Das wars auch schon Augenzwinkern

Gruß,
Thomas

PS: Gib uns doch eine Beispielaufgabe mit deinen Ansätzen und den "Knackpunkten", bei denen du nicht weiterkommst.
Moonbane Auf diesen Beitrag antworten »

Das mag richtig sein, aber ich verstehe das Konzept nicht.
Alles, was von einem Mathematiker definiert wurde soll irgenwie hilfreich sein.

Durch den Parameter kann bestenfalls der Wendepunkt gleich sein, welchen Sinn sollte es haben, Nullstellen oder Extrema einer Schar auszurechnen, wenn für die einzelnen Parameter ja doch wieder rechnen angesagt ist?

Einfache ganzrationale Beispielfunktion.

ft(x) = 1/8tx^3-1,5tx^2+4,5tx // t ist der Parameter =>
Die Nullstellen ändern sich mit dem Parameter, Ausrechnen und Parameter aufaddieren führt ebenfalls nicht zu Erfolg.

f' =3/8tx^2-3tx+4,5t
Die Extrema ändern sich mit dem Parameter.


f'' =3/4tx-3t (+0t) für t = 0 kommt Müll raus?


f''' = 3/4t für t = 0 gibt es keinen Wendepunkt?


Für t={1;2;3} kommen Unterschiedliche Nullstellen und Extrema raus.
Nach welcher Gesetzmässigkeit sind die mit dem Parameter verbunden? Gibt es da überhaupt eine? Warum soll ich dann Nullstellen und Extrema der Funktion ausrechnen?
Mathematiker sind ein ziemlich faules Volk irgendwie muss die Erkenntnis der Funktionnenschar nutzbringend anwendbar sein.

Nur WIE?

PS: Ich finde es sehr nett, dass du mir bei den Aufgaben helfen willst aber ich würde vorher gerne die Idee dahinter verstehen.

CU
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Diskussion von Kurvenscharen geht eben genau darauf ein, durch welche Gesetzmäßigkeit sich die Nullstellen/Extrema/Wendepunkte in dieser Schar bestimmt sind.

ft(x) = 1/8tx^3-1,5tx^2+4,5tx

ft'(x) =3/8tx^2-3tx+4,5t

Hier kannst du z.B. die allgemeinen Extrema der Schar ausrechnen.
Einfach ft'(x) = 0 setzen und dann ganz normal ausrechnen.

Gruß,
Thomas
johko Auf diesen Beitrag antworten »

das Beste wäre, sich ein Programm zu besorgen, das Funktionsscharen im Bild zeigen kann. Ich habe z.B. Winfunktion. Gibt es da auch was im Netz? Anhand einer dargestellten Schar und verschiedenen Eingaben des Parameters dürften deine Fragen sich weitgehend von selbst beantworten.

gruss johko
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Heb den Parameter heraus:

Der Parameter bewirkt eine Stauchung/Streckung entlang der y-Achse. Für t=0, erhälst du die konstante Funktion
f(x)=0
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Moonbane
Durch den Parameter kann bestenfalls der Wendepunkt gleich sein, welchen Sinn sollte es haben, Nullstellen oder Extrema einer Schar auszurechnen, wenn für die einzelnen Parameter ja doch wieder rechnen angesagt ist?


Der Sinn ist, dass du etwa die Nullstellen und Extrema nicht noch einmal ganz neu berechnen musst, sondern du hast sie ja bereits in Abhängigkeit von t berechnet. Hast du nun eine spezielle Funktion der Schar, also ein spezielles t, welches du betrachten willst, brauchst du ja nur noch t einzusetzen.

So gesehen ist das schon ein "faules" Konzept der Mathematiker, sie diskutieren einfach unendlich viele Funktionen auf einmal Augenzwinkern

Gruß vom Ben
Moonbane Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Habs jetzt mit eurer Hilfe, besonders dem tipp von johko, unter Belästigung aller mir Bekannten endlich raus:

1. Mit einer Schar fasse ich alle Funktionen mit gleichen Eigenschaften (Extrema, Nullstellen und Wendepunkt) zusammen.

2. Denkfehler von mir erkannt:

mit dem Parameter ändern sich diese (Grund)Eigenschaften nicht, da sich der Parameter, weil er überall mitgeschleppt wird, auch wieder aufhebt.

3. Nur Anstieg und die Wendetangente ändert sich mit dem Parameter.


Ist das so korrekt oder fehlt noch was?

CU
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so meiner Meinung nach nicht. Es kommt auf die Funktion bzw. die Schar an, ob sich Extrema usw. mit dem Parameter ändern, d.h. ob der Parameter im Extremum steht oder nicht.

Gleiches gilt für Wendetangente und Steigung.

Oder verstehe ich hier etwas falsch:
Zitat:
Original von Moonbane
mit dem Parameter ändern sich diese (Grund)Eigenschaften nicht, da sich der Parameter, weil er überall mitgeschleppt wird, auch wieder aufhebt.
Moonbane Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Grundkurs beschränkt sich auf ganzrationale Funktionen und da war es bei allen Beispielen so.

Es geht mir ja nicht darum allgemeingültige Weisheiten aufzustellen, sondern die Prüfung zu bestehen.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

:]
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Dann betrachte doch mal und berechne das Extremum.
Und das ist doch eine ganzrationale Funktion, die wahrscheinlich schon zu leicht ist, um in der Prüfung dranzukommen?!?
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich behaupte jetzt mal, dass das was dir gerade gesagt/geschrieben wurde zwingend notwenig ist, um die Funktion zu bestehen!

Ich versuch noch mal die Bedeutung zu erklären.

Es gibt also Funktionen die nicht nur von einem x, sondern eben auch von einem anderen Parameter t abhängen.

Um jetzt nicht für t=1 und dann für t=100... die gleichen Sachen getrennt auszurechnen, schreibt man eben "t", macht die Berechung genau einmal (in dem man mit dem t so umgeht, als wäre es eine Konstante).
Anschließend braucht man die einzelnen Werte nur noch in das allgemeine Ergebnis einsetzen und hat sich viel Arbeit gespart, wenn man so möchte!

Ein Beispiel:



Wenn du die Nullstelle finden sollst, stellst du schnell fest, dass x=2t sein muss.


Ab und zu kann es schon vorkommen, dass das Ergebnis von dem Parameter unabhängig ist:



Da ist die Nullstelle immer bei x=2.


Hoffe du verstehst jetzt!

Anirahtak.
Moonbane Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam dämmerts,

ich hab mir zur Anschauung mal das Prüfungsvorbereitungsheft genommen und diese (ganzrationalen Funktionenscharen) eingegeben:


Wahrscheinlich haben die speziell Funktionen ausgesucht, bei denen die Grundeigenschaften unabhängig vom Parameter sind.
Wäre sonst ein arger Zufall....

Deswegen kam ich wohl zu diesem Ergebnis.

Habe aber soweit verstanden, um was es geht
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann war dein Besuch hier ja erfolgreich smile

Ich hoffe der Sinn meiner Einwände ist klar: Nachher ist es doch Zufall, dass nie ein Parameter mit drin stand und in der Prüfung kommt das dann doch vor. Jetzt weisst du, dass es möglich ist und bist in einem solchen Fall nicht verunsichert und musst keinen Fehler suchen, den es gar nicht gibt Augenzwinkern

Gruß vom Ben
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

diese "unabhängigkeit vom parameter" kam wohl eher daher, dass das t bei allen polynomen (d.h. bei allen "x-es") in der selben potenz vorkam, das heist das einfach jedes polynom ein t als faktor hatte. es kann allerdings auch vorkommen, dass z.b. plötzlich das t im exponenten erscheint, wodurch sich der graph maßgeblich mit t verändern würde (z.b. könnte auf einmal der gesamte graph auf dem kopf stehen etc).

und wenn du jetzt z.b. rausbekommen möchtest, auf welcher linie alle extrema liegen, wenn man t verändert, musst du einfach die x- und die y-koordinate des punktes (die sind ja beide abhängig von t) nach t auflösen, gleichsetzen und dann wieder nach y auflösen 8aslo im prinzip t aus den beiden gleichungen für x/y rausbekommen); y gibt dann die funktion an, auf der alle punkte liegen.
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