Globalverhalten

07.05.2005, 11:23

30sabo

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Globalverhalten

Morgen!
Hab von meiner Lehrerin folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Gegeben sind verschiedene Funktionen f mit den unten stehenden Gleichungen.
a) Untersuchen Sie jeweils den Graphen auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Wie verhält er sich für große und kleine x-Werte?

b) Verwenden Sie die Informationen aus Teil a), um den Graphen von f zu skizieren. Bestimmen Sie zwischen den Nullstellen der Funktion bzw. in einem angegebenen Intervall jeweils mindestens vier Punkte mit deren Hilfe Sie den Graphen von f genauer skizzieren können. Bleiben trotzdem Ungenauigkeiten?

f(x)= x^3-x^2-x+1

f(x)= x^4-3x^2-4

f(x) x^3-x

Kann mir jemand zu diesen Aufgaben mal den Rechenweg aufschreiben, oder ne Siete zeigen wo ich sowas finde???

07.05.2005, 12:10

mercany

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RE: Globalverhalten

Zitat:

Original von 30sabo
Kann mir jemand zu diesen Aufgaben mal den Rechenweg aufschreiben, oder ne Siete zeigen wo ich sowas finde???

Komplettlösungen gibt es hier nicht, das verstößt gegen das Prinzip des Boards!

Weist du was man unter Symetrie versteht, bzw. was gegeben sein muss, damit Symetrie überhaupt vorhanden ist?!

Denn Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen ermittelt man, indem man $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ setzt.

Gruss
mercany

07.05.2005, 12:24

30sabo

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Zitat:

Denn Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen ermittelt man, indem man setzt

Damit bekomm ich den Schnittpunkt mit der y Achse, oder? Aber wie krieg ich die Schnittpunkte mit der x Achse? Da muss ich doch die Polynomdivision und dann die PQ Formel anwenden, oder?

07.05.2005, 12:34

mercany

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Wenn du f(x) = 0 setzt, dann erhälst du sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Also sowohl für die x-Achse als auch für die y-Achse.

Bei der ersten Fkt. würd ichs mal mit PD versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

--> Also, du bist dran! Poste mal nen par Zahlen.

/edit:

Zitat:

Da muss ich doch die Polynomdivision und dann die PQ Formel anwenden, oder?

Ja, aber um PD und pq-Formel anzuwenden, muss du erstmal $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ setzen...

07.05.2005, 12:56

30sabo

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OK. Ich setze für f x =0 ein. Bekomm ich den Schnittpunkt Sy (0/1). Richtig? Dann mach ich die PD. Spalte vorher (x+1) ab. Hab dann also:
x^3-x^2-x+1 : x+1

Da krieg ich dann: x^2-2x+1 raus. Dann muss ich PQ machen, oder? Da kommt bei mir aber nix gescheites raus. Bin am Ende bei: -1+/- Wurzel aus 1-1

Das kann doch net richtig sein, oder?

Soviele Fragen aufeinmal Hammer

Hammer

07.05.2005, 12:57

Anirahtak

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Zitat:

Original von mercany
Wenn du f(x) = 0 setzt, dann erhälst du sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Also sowohl für die x-Achse als auch für die y-Achse.

Das sehe ich nicht so.

Mit f(x)=0 erhälst du die Nullstellen und das sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Mit der y-Achse gibt es nur einen einzigen Schnittpunkt, und zwar:
(0, f(0)).

Hier siehst du, dass du mit f(x)=0 keines falls Schnittpunkte mit der y-Achse erhälst:

Gruß
Anirahtak

Außerdem: Verschoben nach Analysis

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07.05.2005, 13:02

Fassregel

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Zitat:

Original von mercany
Wenn du f(x) = 0 setzt, dann erhälst du sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Tut mir leid, das stimmt schlciht und einfach nicht.

Für $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ kriegst du die Schnittpunkte mit der x-Achse, wenn du für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt, also $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ , erhälst du den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Nehmen wir als Beispiel die einfache Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-4 \end{eqnarray*}$ . zuerst setzen wir $\begin{eqnarray*} x^2-4=0 \end{eqnarray*}$ damit erhalten wir $\begin{eqnarray*} x_1,2=\pm 2 \end{eqnarray*}$ , die Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen) befinden sich bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ .
Nun brauchen wir noch den Schnittpunkt mit der y-Achse. Setzen wir für x=0 ein: $\begin{eqnarray*} f(0)=0²-4=-4 \end{eqnarray*}$ --> Schnittpunkt mit der y-Achse S(0|-4|).

07.05.2005, 13:09

mercany

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Okey.... war einfach falsch ausgedrückt von mir!

@Fassregel. Klar, dein Bsp. ist vollkommen richtig und mir ist das schon klar... hab einfach Mist geschrieben. Natürlich erhält man durch Einsetzen von x erst denn Schnittpunkt mit der Y-Achse....

Wobei: Wo die Fkt. auf der Y-Achse liegt, kann ich doch der Fkt. sowieso direkt entnehmen

/edit: Danke an euch beiden, dass ihr mich darauf aufmerksam gemacht habt!

07.05.2005, 13:14

Fassregel

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Ja, eigentlich "sieht" man den Schnittpunkt mit der y-Achse schon wenn man das absolute Glied betrachtest, aber mathematisch betrachtet machst du nichts anderes, als für x=0 einzusetzen.

Aber das gilt nur bei rationalen Funktionen. Sobald du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ hast, gibts auch nen Schnittpunkt mit der y-Achse, und den kannst du nicht so einfach ablesen.

07.05.2005, 13:21

mercany

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Zitat:

Original von 30sabo
OK. Ich setze für f x =0 ein. Bekomm ich den Schnittpunkt Sy (0/1). Richtig?

Nein, das war aber mein Fehler! Siehe die Erklärung unten von Fassregel und Anirathak.

Schnittpunkt liegt aber bei Sy (0/1) - das ist richtig!

Zitat:

Dann mach ich die PD. Spalte vorher (x+1) ab. Hab dann also:
x^3-x^2-x+1 : x+1

Da krieg ich dann: x^2-2x+1 raus.

Ja, das passt!

Zitat:

Dann muss ich PQ machen, oder? Da kommt bei mir aber nix gescheites raus. Bin am Ende bei: -1+/- Wurzel aus 1-1

Erstmal heißt es nicht -1 sonder +1.
Denn. du hast in der pq-Formel -p/2 --> wenn du jetzt eine negative Zahl einsetzt, wird es ja positiv.

Also hast du $\begin{eqnarray*} 1 \pm \sqrt{1-1} \end{eqnarray*}$

Und was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn der Wert unter der Diskriminante = 0 ist?

Gruss
mercany

/edit: Überleg dir doch schonmal etwas für die Symetire.
Also: Ist liegt hier Symetrie vor - wenn ja, welche?

07.05.2005, 14:25

30sabo

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Zitat:

Und was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn der Wert unter der Diskriminante = 0 ist

Nicht lösbar?

Symetrie? Meinst du damit wie der Graph verläuft? Müsste wegen der x^3 von unten links beginnen, dann einen Bogen nach unten machen um dann wieder aufzusteigen. Wenn das richtig wäre müsste es doch heißen: x^3 dominiert den Funktionsterm. Also sind die Funktionswerte für kleine x sehr klein und für große x sehr groß, oder?

Aber welche Schnittpunkte hab ich dann eigentlich außer Sy (0/1)???

07.05.2005, 16:49

Fassregel

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Zitat:

Original von 30sabo

Zitat:

Und was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn der Wert unter der Diskriminante = 0 ist

Nicht lösbar?

Nein, das stimmt leider nicht. Nicht lösbar in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine quadratische Gleichung, wenn der Wert unter der Diskriminante kleiner als 0 ist. Die Wurzel aus 0 ist 0, wo ist der Unterschied, ob du 0 dazuzählst oder abziehst? Richtig, es gibt keinen. Es gibt also genau 1 Lösung der quadratischen Gleichung, und eine Lösung, die du schon geraten und mit der du die Polynomdivision durchgeführt hast. Dadurch, dass deine quadratische Gleichung nur eine Lösung hat, erfährst du noch etwas über diese Lösung. Stichwort doppelte Nulstelle...

Zitat:

Original von 30sabo
Symetrie? Meinst du damit wie der Graph verläuft? Müsste wegen der x^3 von unten links beginnen, dann einen Bogen nach unten machen um dann wieder aufzusteigen. Wenn das richtig wäre müsste es doch heißen: x^3 dominiert den Funktionsterm. Also sind die Funktionswerte für kleine x sehr klein und für große x sehr groß, oder?

Symmetrie bedeutet, ob eine Funktion an einem Punkt oder einer Achse "Spiegelbar" ist.

Zitat:

Original von 30sabo
Aber welche Schnittpunkte hab ich dann eigentlich außer Sy (0/1)???

Mit der y-Achse keinen mehr (logischerweise).
Mit der x-Achse hast du noch die 2 Nullstellen, von der du eine geraten hast, die andere aus der quadratischen Gleichung erhalten hast (wie ich dir oben beschrieben habe.

07.05.2005, 17:15

30sabo

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Also für ganz blöde heißt das, dass ich als Schnittpunkt mit der x-Achse nur meine geratene Lösung habe?

07.05.2005, 17:43

Fassregel

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Nein, du hast doch noch die Lösung deiner quadratischen Gleichung.

Insgesamt also zwei Nullstellen. Einmal $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ als geratene Lösung und die Lösung deiner pq-Formel $\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ . (Hoffe, es ist jetzt nicht pädagogisch verkehrt, einfach die richtige LÖsung zu geben)

Rechne $\begin{eqnarray*} x_{2,3}=1-\sqrt{1-1} \end{eqnarray*}$ aus. Dann steht da $\begin{eqnarray*} x_{2,3}=1-0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_{2}=1 \end{eqnarray*}$

So kommst du auf deine beiden Nullstellen.

Doppelte Nullstelle bedeutet, dass die Funktion die x-Achse an der Stelle x=1 nur berührt. Doppelte Nullstelle deshalb, weil du als Lösung deiner quadratischen Gleichung nur einen Wert erhälst, obwohl du zwei Lösungen kriegen könntest.

edit: Latex

07.05.2005, 19:18

mercany

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Noch kurz etwas zum Thema Symetrie:

Für Punktsymmetrie muss gelten:
$\begin{eqnarray*} f(-x) = -f(x) \end{eqnarray*}$

Sie kann vorliegen, wenn die Funktion nur ungerade Exponenten enthält.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 - 2x +7 \end{eqnarray*}$

Für Achsensymetrie muss gelten:
$\begin{eqnarray*} f(-x) = f(x) \end{eqnarray*}$

Sie kann vorliegen, wenn die Funktion nur gerade Exponenten enthält.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 + 2x^2 -3 \end{eqnarray*}$

Keine Symetrie liegt vor wenn:

- $\begin{eqnarray*} f(-x) \neq f(x) \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} f(-x) \neq -f(x) \end{eqnarray*}$

- Die Funktion ungerade und gerade Exponenten enthält

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 + 4x^2 + x \end{eqnarray*}$

\edit: schreibfehler bei punktsymetrie entfernt.

07.05.2005, 19:37

DerEierMann

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Für Punktsymmetrie gilt : $\begin{eqnarray*} -f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} f(-x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$ !

07.05.2005, 19:56

mercany

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Vertippt! Hast recht!

Danke
mercany

08.05.2005, 00:01

Fassregel

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Und es gilt für die Symetrievorschriften:

f(-x)=f(x) Achsensymetrie zur y-Achse

f(-x)=-f(x) Punktsymetrie zum Ursprung

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