Rangbestimmung

07.05.2005, 13:54

The_Lion

Rangbestimmung

Hallo.
Ich habe hier mal 2 Aufgaben zur Rangbestimmung berechnet. Ist das so in Ordnung ?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 2-1 , 1-3, 4 - (1+2+3) => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 1-4, 2-3 =>
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 1+3, Rest vertauschen => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> Rang er Matrix ist 3.

2.Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 2-3 => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ I + (-4) * II , III + (-1)*IV => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ II + III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> Rang der MAtrix ist 3.

07.05.2005, 14:37

Anirahtak

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Hallo,
modulo Rechenfehler erhalte ich bei der ersten Rang=2 und bei der zweiten Rang =4.

Mir ist völlig schleierhaft wie du rechnest. Vielleicht könntest du das ein wenig kommentieren.

Gruß
Anirahtak

07.05.2005, 15:29

The_Lion

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habe es editiert.
Sind die Matrizen bei mir denn nicht in Zeilenstufenform ?

07.05.2005, 16:25

phi

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RE: Rangbestimmung

Zitat:

Original von The_Lion
Rest vertauschen => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hi, ...soweit so gut bei der 1.Matrix, aber vergleiche mal die 1. und die 3. Spalte!

=> Rang=? Augenzwinkern

Edit: Oops, dann wäre der Rang ja immer noch =3...

Wenn man aber von vornerein die 1. Spalte 1,1,1,4 wegläßt (da sie = 3.Spalte, also lin. überflüssig), dann die 2. Zeile von der 4. abzieht, von der neuen 4. Zeile dann das 3-fache der 3.Zeile abzieht (o,o,3,3), dann bei

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\0 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , 2-1 =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , 1-2, 3.Zeile wird lin. überflüssig.. bekommt man =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , ...vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 2 \\0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.05.2005, 16:40

Anirahtak

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RE: Rangbestimmung
Du solltest nicht in einem Schritt alle Zeilen verändern!

So ist I-II eine Äquivalenzumformung. Und wenn du dann I-III machst, und anschließend IV-I und dann IV-II und dann IV-III. Dann erhälst du eine äquivalente Matrix. Wenn du aber in einer Matrix 2-1 , 1-3, 4 - (1+2+3) und auf einmal machst, dann ist das keine Zeilenumformung!

Mach das noch mal, aber immer nur einen Schritt auf einmal.

Gruß
Anirahtak

07.05.2005, 17:02

The_Lion

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ok, ich hab am Ende die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 3 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt 2te Zeile - 4 Zeile rechne , dann schreibe ich das Ergebnis z.B. in die zweite wieder rein. aber die 3te bleibt doch trotzdem ! ? Oder muss ich das Ergebnis in beide Zeilen reinschreiben ?

Ich weiss, dass es letzteres ist, aber meine Frage ist mehr eine Rechtfertigungsfrage bzw Frage zum Sichergehen.

Danke.

Rang = 2 Augenzwinkern

ach es geht ja u lin. unabhängige zeilen/spalten, also 2 lin.abhängig => 2 lin UNabhängig, => rang = 2

edit: bei der zweiten matrix hab ich auch Rang 2

07.05.2005, 18:05

Anirahtak

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Hallo,

die Matrix die du jetzt dastehen hast, hat doch Rang 3 verwirrt

Also nehmen wir an, wir haben eine Matrix mit 3 Zeilen $\begin{eqnarray*} z_1, z_2, z_3 \end{eqnarray*}$

Die Matrix ist also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wenn du 1-2 machst, dann bekommst du: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1-z_2\\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wir können dann das dreifache der dritten Zeile von der zweiten Abziehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1-z_2\\ z_2-3z_3 \\ z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und so weiter.

Schreib doch mal die ersten drei Umformungsschritte ganz ausführlich hier hin (ich weiß, das ist eine blöde Arbeit zum Tippen), aber nur dann kann ich sehen, was du falsch machst.

Gruß
Anirahtak

07.05.2005, 18:47

The_Lion

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also:
erste Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ II - III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ IV - 2* III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ I - III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ IV - II => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ IV - 2* III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 3 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wieso schreibst du mir nicht, wie du es machst. ist schreibarbeit, aber egal Augenzwinkern

warn schreibfehler, habs editiert.

08.05.2005, 10:23

Anirahtak

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Zitat:

Original von The_Lion

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ IV - 2* III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um in der vierten Zeile eine führende Null zu erhalten, musst du doch IV-4*III rechnen. Bei dem ersten Eintrag hast du das auch gemacht, aber hinten nicht!

Warum ich dir nicht schreibe wie ich es mache? Erstens ist meine Vorgehensweise die gleiche und zweitens weißt du dann nicht wo dein Fehler liegt.

Gruß
Anirahtak

08.05.2005, 15:40

The_Lion

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ok, nun habe ich endlich Rang 2 raus für die erste Matrix.
hab in den lezten beien Schritten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ II - 2*III=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber bei der zweiten Matrixhabe ich auf keinen Fall Rang 4 wie Du ! ?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ II - III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 4*II - IV => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 10 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ IV - 5* III => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 10 & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ III - 5* I => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also Rang 3 ! Hast Du vielleicht nen Rechenfehler ?

08.05.2005, 19:56

Anirahtak

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Ja, dein Ergebnis stimmt jetzt (ich hab ja ganz am Anfang geschrieben: "modulo Rechenfehler" Augenzwinkern

)

Aber die Bezeichung deiner Schritte nicht ganz. Aber das wirst du selbst sehen.

Ich glaube du hast es jetzt verstanden, oder?

Gruß
Anirahtak

08.05.2005, 20:41

The_Lion

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ich hoffe doch, dass ich es verstanden habe.
noch etwas. in der zeilenstufenform, müssen da irgendwie EInsen stehen jeweils am Anfang der Zeilen ? Nein oder ?

Du sagst die Bezeichnung meiner Rechenschritte stimmt nich. Meinst Du, dass ich richtig umgeformt, aber den falschen Kommentar dazu abgegeben habe ?

09.05.2005, 18:55

Anirahtak

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Naja, beim ersten Schritt ziehst du die zweite Zeile von der Dritten ab, du machst also III-II. Anschließend addierst du das (-4)-fache der zweiten zur Vierten, also IV-4*II und anschließend multiplizierst du IV mit -1. Danach stimmts dann.

Gruß
Anirahtak

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