tau(x) ... eine Funktion von N in N |
| 01.03.2004, 18:17 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| tau(x) ... eine Funktion von N in N der in N existierenden verschiedenen Teiler von x zu. sei p einfache Primzahl: tau(0) = 0 per Def. tau(1) =1 tau(p) =2 Seien (Pi und Qi alle voneinander verschieden und prim) x=P1^I1*P2^I2*...*Pn^In y=Q1^J1*Q2^J2*...*Qk^Jk die eindeutigen Primfaktorzerlegungen von x und y aus N, und u=tau(x) p eine von allen Pi VERSCHIEDENE Primzahl so gilt offensichtlich tau(p*x) = u+u =2*u = 2*tau(x) =tau(x)*tau(p) (es kommen alle Teiler die ja selbst eindeutige Kombinationen der Primfaktorzerlegung von x sein müssen genau ein 2.Mal nämlich mit nun anmultipiziertem p vor und damit insgesamt u+u Teiler) offensichtlich ist damit tau(p*p*x) = (u+u)+u =tau(x) +2*u = tau(x)*3 =tau(x)*tau(p²) tau(p*p*p*x) =(u+u+u)+u =tau(x) +3*u tau(p^k*x)= ... = tau(x) +k*u = u +k*u = u*(k+1) tau(p^k*x)= u*(k+1) = tau(x)*tau(p^k) durch Umsubstituieren folgt daraus tau(x*Q1^J1*Q2^J2) =tau(x*Q1^J1)*tau(Q2^J2) tau(x*Q1^J1*Q2^J2*Q3^J3) =tau(x*Q1^J1*Q2^J2)*tau(Q3^J3) ... und damit letztendlich für unsere teilerfremden x,y tau(x*y) = tau(x)*tau(y) ================ mit ganz offensichtlich tau(y)= (i=1...k MUL (tau(Qi^Ji)) = (i=1...k MUL(Ji + 1)) ===================================== dabei ist mit [ i=1...k MUL() ] Produkt über() von i=1 bis i=k gemeint nachreich: sämtliche eingebauten Fehler sind absichtlich !!! ... |
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| 01.03.2004, 19:13 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tau(x) ... eine multiplikative Funktion von N in N Gut, Poff! Dieser Beweis sieht richtig aus. 
Man kann die Multiplikativität aber auch direkter zeigen, was ich nun tue. Seien x = p_1^{e_1} ... p_n^{e_n} und y = q_1^{f_1} ... q_k^{f_k} teilerfremde Zahlen, angegeben mit ihrer Primfaktorzerlegung. (Die p's sind dabei andere Primzahlen als die q's.) Ist d_1 ein Teiler von x, und d_2 ein Teiler von y, dann ist offensichtlich d_1*d_2 ein Teiler von xy. Sei nun umgekehrt d ein Teiler von xy. Dann hat d eine Primfaktorzerlegung der Form d = p_1^{i_1} ... p_n^{i_n} q_1^{j_1} ... q_k^{j_k}, wobei die i's kleinergleich den e's und die j's kleinergleich den f's sind. Offensichtlich ist dann d_1 := p_1^{i_1} ... p_n^{i_n} ein Teiler von x und d_2 := q_1^{j_1} ... q_k^{j_k} ein Teiler von y. Man kann also jedem Teiler von xy ein Paar von Teilern von x und y zuordnen, und umgekehrt. Da die Anzahl der Paare von Teilern von x und y gleich dem Produkt der einzelnen Anzahlen ist, ergibt sich die gewünschte Gleichung: tau(xy) = #{d teilt xy} = #{d_1 teilt x} * #{d_2 teilt y} = tau(x) tau(y). Gruss, SirJective |
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| 02.03.2004, 20:58 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tau(x) ... eine multiplikative Funktion von N in N Bingo @SirJective Kommt ziemlich auf das Gleiche raus, dabei hat das meinige den Vorteil, dass es gleich eine Berechnungsformel gratis mitliefert 
davon ab ist deins :] ... |
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| 02.03.2004, 21:53 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tau(x) ... eine multiplikative Funktion von N in N Hmmm... natürlich kann man das Spiel schrittweise bis zu den Primpotenzfaktoren treiben, und erhält so für die Zahl x = p_1^{e_1} ... p_n^{e_n} die Gleichung tau(x) = tau(p_1^{e_1}) ... tau(p_n^{e_n}). Dann muss man nur noch zeigen, dass tau(p^n) = n+1 ist, und ist bei der expliziten Formel angelangt. Du hast recht: Es kommt auf das gleiche raus, von der Verständlichkeit und vom Aufwand... Damit sollte das Rätsel der durch 41 teilbaren Zahl mit genau 41 Teilern endgültig erschlagen sein. :P Gruss, SirJective |
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| 02.03.2004, 22:17 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: tau(x) ... eine multiplikative Funktion von N in N
Nein muss man nicht, war nämlich 'versteckt' AUCH schon integriert
sieh hier tau(p^k*x)= ... = tau(x) +k*u = u +k*u = u*(k+1) tau(p^k*x)= u*(k+1) = tau(x)*tau(p^k) war nämlich gerade DURCH die Hochmultiplikation der Potenzen als Abfallprodukt geradezu leicht erkennbar. Basta und Schluss aus
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| 03.03.2004, 00:14 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tau(x) ... eine multiplikative Funktion von N in N Ich meinte, dass man das mit meiner Herleitung noch zeigen muss, da ich ja nur die Multiplikativität für teilerfremde Faktoren gezeigt habe. Bei deiner Herleitung kommt das "nebenbei" gleich mit raus für x=1. Gruss, SirJective PS: Nu's aber Schluss! Auf die nächste Aufgabe! 
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| 25.08.2004, 00:23 | Oudeis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: tau(x) ... eine multiplikative Funktion von N in N Huhu, was haltet ihr davon, ein bisschen mit dem chinesischen Restsatz auf das Problem draufzuhauen?
Mir scheint, daß dann mit N = m*n, m und n teilerfremd, die Teiler von N den Idealen von entsprechen, und daß diese Ideale hinwiederum via Multiplikation mit (1,0) und (0,1) sich prima entlang dieses Isomorphismus faktorisieren lassen. An dem Punkt wäre man dann fertig...
Grüße, Oudeis |
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