Grenzwert einer periodischen Funktion

07.05.2005, 18:11	kospe	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer periodischen Funktion Hi, ich hab folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodische Funktion mit $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\|f(x)\|^2<\infty \end{eqnarray}$ Zeige, dass: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty}{\int_0^{2\pi}f(x)sin(nx)}=0 \end{eqnarray}$ Hab keine wirkliche Idee, wie ich das machen könnte. Hat jemand einen Tipp für mich?
07.05.2005, 21:14	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer periodischen Funktion Hallo, f hat ja die Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) cos(nx) dx, n = 0, 1, 2, ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) sin(nx) dx, n = 1, 2, ... \end{eqnarray}$ Erkennst Du die $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ wieder? Dass das Betragsquadrat der Funktion n.V. endlich integrabel ist, bedeutet etwas für die Fourierkoeffizienten.
08.05.2005, 10:01	kospe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer periodischen Funktion Hi, danke erstmal für die Hilfe. Ja, das $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ erkenn ich wieder. Und wenn ich die Parsevalsche Gleichung benutze kann ich auch erkennen, dass das Ganze konvergiert aufgrund der Vorraussetzung aber mir ist noch nicht klar, wieso es gegen 0 streben muss.
08.05.2005, 14:21	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer periodischen Funktion Wenn man die Funktion in Fourierreihe entwickelt, das Integral über das Quadrat des BETRAGES hinschreibt, die sin(nx), cos(nx) durch ihren Maximalwert 1 abschätzt, dann bleiben noch Summen über die Fourierkoefiizienten stehen, diese sollten konvergieren, n.V.; zu dem Ende kann dann kein Fouierkoeffizient für n-> \infty gegen einen anderen Wert als 0 konvergieren, sonst ist die Voraussetzung verletzt.
08.05.2005, 20:42	kospe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer periodischen Funktion hmmh, ich glaub jetz versteh ichs... Vielen Dank!

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