Beweis - Überabzählbarkeit zweier Intervalle reeller Zahlen

07.05.2005, 21:23

Anne1983

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Beweis - Überabzählbarkeit zweier Intervalle reeller Zahlen

Hallo zusammen,

zu folgendem Problem hätte ich gerne ein paar Tipps:

ich soll beweisen, dass die Menge der reellen Zahlen zwischen 10 und 11 überabzählbar ist.

Den Beweis für das Intervall zwischen 0 und 1 habe ich bereits gemacht und auch verstanden, nur kann ich ihn leider nicht analog verwenden.
Von Mitarbeitern in der Übung, haben wir gesagt bekommen, dass wir eine Abbilung finden müssen, von dem Intervall 0 und 1 zum Intervall 10 und 11.

Wäre für jeden Tipp sehr dankbar!
Vielen Dank!

Anne

edit: Titel geändert (MSS)

07.05.2005, 21:30

Mathespezialschüler

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Willst du mir sagen, dass du keine bijektive Abbildung des Intervalls [0,1] in das Intervall [10,11] findest??? unglücklich

unglücklich

07.05.2005, 21:41

Anne1983

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Ich fürchte ich stehe auf dem Schlauch und kann die Abbildung nicht finden..... Hammer

Hammer

Vielleicht denke ich aber auch zu kompliezert....

07.05.2005, 22:05

Mathespezialschüler

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Wie bekommst du aus der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ ? Wie aus der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ , wie aus der $\begin{eqnarray*} 0,5431856135 \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} 10,5431856135 \end{eqnarray*}$ , wie aus $\begin{eqnarray*} 0,\overline{3} \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} 10,\overline{3} \end{eqnarray*}$ ??? Das geht auch ganz allgemein für eine beliebige Zahl aus dem Intervall [0,1].

07.05.2005, 22:11

Anne1983

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Das ist klar, aber wie schreibe ich es auf, dass die Abbildung surjetiv bzw. injektiv ist?
ich kann doch nicht einfach hinschreiben, dass ich z.B. 0,75 mit 10 addiere....

07.05.2005, 22:15

Mathespezialschüler

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Doch natürlich!

Sei $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=x+10 \end{eqnarray*}$

wird eine bijektive Abbildung des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in das Intervall $\begin{eqnarray*} [10,11] \end{eqnarray*}$ definiert.
Dass die Abbildung surjektiv und injektiv ist, ist doch völlig trivial. Wenn es das für dich nicht ist, dann zeigst du es halt!

PS: Sollte der Titel "Beweis - Überabzählbarkeit zweier Intervalle reeller Zahlen" heißen? Zwei reelle Zahlen überabzählbar zu nennen, ist nämlich sehr komisch.

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07.05.2005, 22:33

Anne1983

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Mir ist schon klar, dass die Abbildung bijekiv ist, aber ich muss ja auch die Einzelheiten aufschreiben und ich hab´ Probleme damit zu zeigen dass es injektiv bzw. surjektiv ist.
Injektivität
f(x)=f(x´)
x+10=x´+10
x=x´
-> somit ist es injektiv,
aber dann zeige ich doch das eine Abbildung innerhalb des Intevalles [10,11] injektiv ist......
wie zeige ich, dass es surjektiv ist.

07.05.2005, 22:42

Mathespezialschüler

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Kannst du bitte noch auf mein PS antworten!? Danke.

Zitat:

aber dann zeige ich doch das eine Abbildung innerhalb des Intevalles [10,11] injektiv ist......

Nein, du zeigst, dass die Abbildung an sich injektiv ist.
Zur Surjektivität: Sei $\begin{eqnarray*} y \in [10,11] \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du ein $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ und das dürfte nicht so schwer sein.

07.05.2005, 22:49

Anne1983

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Ja, ich hätte es so nennen müssen.

Kann ich bei der Surjektivität dann einfach eine Zahl einsetzen und es für diese eine zeigen und dann daraus folgern, dass es für alle gelten soll?

07.05.2005, 23:02

Mathespezialschüler

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Du musst doch nur zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} y\in [10,11] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 10+x=y \end{eqnarray*}$ . Welche Zahl x kann das wohl sein?

07.05.2005, 23:10

Anne1983

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Müsste dann ja die 1 sein, aber dann habe ich es doch nur für eine Zahl gezeigt....

07.05.2005, 23:26

Mathespezialschüler

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Wie kommst du denn bitte auf 1??? Tut mir leid, aber mir ist das sehr unverständlich!
Wenn das für jede Zahl $\begin{eqnarray*} y\in [10,11] \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ wäre, so wäre die Abbildung ja gar nicht injektiv. Und noch viel schlimmer: Es wäre für alle $\begin{eqnarray*} y\in [10,11] \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} y=10+1=11 \end{eqnarray*}$ , was absolut nicht stimmt!
Finde mal bitte zu $\begin{eqnarray*} y=10,5463186\in [10,11] \end{eqnarray*}$ die Zahl x, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 10+x=y \end{eqnarray*}$ ist! Das soll dMn $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ sein? unglücklich

unglücklich

07.05.2005, 23:37

Anne1983

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Tut mir leid, aber ich verstehe es nicht...... traurig

traurig

07.05.2005, 23:42

papahuhn

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Wie wärs, wenn sie einfach die Umkehrabbildung angibt?
$\begin{eqnarray*} f(x) = x+10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) :=\ na\ was\ wohl \end{eqnarray*}$
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x \end{eqnarray*}$

Das sollte doch recht einfach sein.

07.05.2005, 23:42

Mathespezialschüler

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Wie kann man sowas nicht verstehen?? Das ist 7. Klasse. Egal, ich werd zwar langsam ungeduldig, aber das soll mich nicht daran hindern, einfach weiter zu machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für $\begin{eqnarray*} y=10,5463186\in [10,11] \end{eqnarray*}$ sollst du das x mit $\begin{eqnarray*} 10+x=y \end{eqnarray*}$ finden, also das x mit $\begin{eqnarray*} 10+x=10,5463186 \end{eqnarray*}$ .
DMn wäre das also x=1, das hast du ja oben gesagt. Dass es das nicht sein kann, ist klar, wie schon gesagt. Findest du das x mit

$\begin{eqnarray*} 10+x=10,5463186 \end{eqnarray*}$ ??

@papahuhn
Genau das machen wir doch grad mehr oder weniger. Um die Umkehrabbildung bilden zu können, müssen wir ja erstmal die Surjektivität zeigen. Und das heißt ja, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in [10,11] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} 10+x=y \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung läuft ja auf die Umkehrabbildung hinaus ...

07.05.2005, 23:48

Anne1983

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x = 0,5463186

08.05.2005, 00:09

Mathespezialschüler

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Ja, richtig. Sei nun $\begin{eqnarray*} y\in [10,11] \end{eqnarray*}$ beliebig. Gibt es denn dann ein $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 10+x=y \end{eqnarray*}$ ?? Wenn ja, welches.
Und jetzt noch ein großer Schubs: Du musst einfach nur die Gleichung nach x umstellen ..

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