Ähnlich zur Matrix?

07.05.2005, 22:53

Snooper

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Ähnlich zur Matrix?

Hallo kann mir jemand bei der fogenden Aufgabe weiterhelfen zumindest schonmal sagen wie ich anfangen muss?

Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ heißt ähnlich zur Matrix $\begin{eqnarray*} B \in M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B = P \cdot A \cdot P^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt. Wir schreiben dann: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ,

b) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ,

c) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ,

d) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} B^n \end{eqnarray*}$ .

Wink

Wink

08.05.2005, 21:05

Snooper

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RE: Ähnlich zur Matrix?
kann mir da jemand helfen???
ein kleiner tip würde mir reichen

mfG

08.05.2005, 21:23

JochenX

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sag doch bitte erst mal was du schon hast und welche ideen du dir gemacht hast!
wir wollen dir doch helfen, dass zu lösen und nicht alles verraten!

und teilweise ist das sehr leicht!

08.05.2005, 21:28

Snooper

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also habe mir dabei gedacht P* $\begin{eqnarray*} P^-1 \end{eqnarray*}$ =1

und laut gleichung ist ja B=P*A* $\begin{eqnarray*} P^-1 \end{eqnarray*}$ es folgt=1*A

so ergibt das B=1*A....B=A

08.05.2005, 21:36

JochenX

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nein, das ist falsch!
matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

aus A=PBP^-1 folgt nicht A=B!!!

zumindest die b) sollte aber machbar sein.
mfg jochen

08.05.2005, 21:44

Snooper

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okay...kannst du mir das näher erklären??bin mir sicher dass ich es dann verstehe...

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08.05.2005, 21:48

JochenX

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meinte oben "b)" statt "B), habs editiert

was genau verstehst du denn nicht?
ist dir die ähnlichkeitsaussage an sich klar?

08.05.2005, 21:49

Snooper

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was meinst du mit matrizenmultiplikat nicht kommutativ

08.05.2005, 21:51

JochenX

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du kannst eben für beliebige matrizen nicht AB=BA sagen....

damit für deinen fall: ja, es gilt P*P^-1=I, aber
A=P*B*P^-1 <-- hier stehen die P und P^-1 nicht nebeneinander, deswegen gilt im allgemeinen nicht:

P*B*P^-1 = B <-- meistens FALSCH!

08.05.2005, 21:55

Snooper

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ah verstehe also halt meistens A*B ungleich B*A das meinst du ne..und bezogen jetzt auf die aufgabe was du da jetzt erklärt hast was muss ich den genau zeigen???dass es nicht geht ein widerspruch oder so?

gruß

08.05.2005, 22:01

JochenX

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RE: Ähnlich zur Matrix?

Zitat:

Original von Snooper
Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ heißt ähnlich zur Matrix $\begin{eqnarray*} B \in M_n(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B = P \cdot A \cdot P^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt. Wir schreiben dann: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

nochmal meine frage: verstehst du die aussage hierbei?

08.05.2005, 22:08

Snooper

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RE: Ähnlich zur Matrix?
ich verstehe..A ist zawr nicht gleich B aber ähnlich nur P was soll das sein???also klar eine invertierbare Matrix aber was genau?

08.05.2005, 22:21

JochenX

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A und B sind ähnlich, wenn eine beliebige invertierbare matrix existiert, so dass obige bedingung erfüllt ist.

wenn du also zeigen willst das C~D ist, dann musst du zeigen, dass es eben eine passende reguläre matrix gibt, damit die bedingung erfüllt ist.

08.05.2005, 22:23

Snooper

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also C=P*D*P^-1

dann ist c ähnlich zu P

meinst du das

08.05.2005, 22:26

JochenX

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wie wärs du schaust dir das morgen in ruhe an und gehst erst mal schlafen?
du redest gerade sehr verwirrend.

dann wäre C ähnlich zu D.
und zwar, wenn so ein P existieren würde.

08.05.2005, 22:30

Snooper

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aber ich bin seit tagen dran und komme nicht weiter und muss die aufgabe morgen zeigen unglücklich

unglücklich

((

08.05.2005, 22:34

JochenX

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ich weiß trotzdem nicht, was du von mir erwartest.
ich werde dir keine musterlösung vorsetzen.

und dafür, dass du schon tage dran sitzt, hast du aber noch nicht viel von der eigentlichen aufgabenstellung verstanden.

du musst je die existens eines solchen Ps zeigen....
z.B.: zu zeigen ist A~A <--- suche also ein P, sodass A=PAP^-1 gilt....

08.05.2005, 22:39

Snooper

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P..soll das irgeneine matrix sein die invertierbar ist...soll och das in dei gelichung einsetzen

08.05.2005, 22:41

JochenX

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naja, du weißt, wie matrizenmultiplikation geht...

dann muss eben wenn A~A ist, eine matrix P (invetierbar!) existieren, dass A=P*A*P^-1 ist, denn das ist genau die bedingung für A~A.

08.05.2005, 22:48

Snooper

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hat die einheitsmatrix was damt zu tun?

08.05.2005, 23:03

AD

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Nicht bei jedem kleinen Schritt fragen - einsetzen, ausrechnen, selbst erkennen!

08.05.2005, 23:07

Snooper

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ja das geht auf der rechten seite kommt dan einheitmatrix mal A raus nicht wahr??

08.05.2005, 23:18

JochenX

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rehst stünde dann I*A*I^-1
was ist I^-1? was ist das dann? passt das?

08.05.2005, 23:20

Snooper

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I^-1=Inverse matrix

08.05.2005, 23:29

JochenX

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ja und was ist diem inverse zur einheitsmatrix?

mfg jochen

ps: vielleicht hat arthur recht, evtl. hast du das ja schon richtig erkannt und ich interpretiere nur deine beiträge falsch....

08.05.2005, 23:33

Snooper

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wieder die einheitsmatrix smile

smile

oder

ps:no problem smile

smile

08.05.2005, 23:37

JochenX

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genau, I^-1 ist wieder I....

also, erfüllt dein I nun die notwendige bedingung für dein "P"?
gilt also A=I*A*I^-1=I*A*I (?)

08.05.2005, 23:43

Snooper

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A=Einheitsmatrix*A oder

08.05.2005, 23:50

JochenX

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Zitat:

A=Einheitsmatrix*A oder

ja, das gilt, aber was genau willst du damit sagen?
die frage war, ob A und I*A*I das gleiche ist

09.05.2005, 00:03

Snooper

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A ist invertierbar?wenn das gilt...ja klar ist A=I*A*I also recjts ist gleich linke seite

09.05.2005, 00:29

JochenX

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A muss nicht invertierbar sein, wie kommst du darauf?

aber ja, A=I*A*I, denn I macht ja bei multiplikation nichts, es ist ja das neutrale element.

damit hast du eine entsprechende invertierbare matrix P gefunden (P aus der definition ist gleich I) und somit ist A ähnlich zu A.

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