Zwei beliebige Zeilen vertauschen

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08.05.2005, 00:42	Help me	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei beliebige Zeilen vertauschen Hallo ich habe folgende Aufgabe zur bearbeiten, und habe auch versucht die Aufgabe zu lösen. Nur bin ich mir nicht sicher, ob mein Lösungsweg auch richtig ist. Schuat es euch an und sagt mir bitte Bescheid. Aufgabe: Benutzen Sie nur Zeilenumformungen vom Typ B (Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile), um in einer Matrix zwei beliebige Zeilen zu vertauschen. Mein Lösungsweg: Entsteht $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch eine Elementare Zeilentransformation vom Typ B d.h., Addition des $\begin{eqnarray} \lambda -fachen \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} j-ten \end{eqnarray}$ Zeile zur $\begin{eqnarray} i-ten \end{eqnarray}$ Zeile $\begin{eqnarray} (\lambda \in K , \lambda \neq 0) \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} detA' = detA. \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} detA' = det \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ : \\ a_i + \lambda a_j \\ : \\ a_j \\ : \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = det \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ : \\ a_i \\ : \\ a_j \\ : \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \lambda det \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ : \\ a_j \\ : \\ a_j \\ : \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = detA. \end{eqnarray}$
08.05.2005, 13:52	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor du´s so verallgemeinerst, schau dir ein einfaches Beispiel an: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , zu zeigen ist, dass wir durch Typ B umformungen zum Schluß eine Zeilenvertauschung erhalten, also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Fangen wir an: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , zur 1. Zeile die 2. Zeile addieren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und die (alte) 1.Zeile von der (neuen) 1.Zeile abziehen. Das ergibt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , nun zur 2.Zeile die (alte) 1. Zeile addieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und die alte 2.Zeile abziehen, wir erhalten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was wir zeigen wollten. Wenn du das jetzt verallgemeinerst, kannst du deine Lösung überprüfen.
08.05.2005, 20:18	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
cool...soll man da halt jetzt nur noch statt zahlen varibalen einsetzen??und so zeigt man das oder wie??
08.05.2005, 21:09	Help Me	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmm ist jetzt mein Lösungsweg richtig oder nicht??? Und danke für DEIN Beispiel
08.05.2005, 21:20	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm Mist, ich bin mir jetzt nicht mehr sicher ob das so richtig ist wie ich es geschrieben habe. Ich hab irgendwo diesen Zusammenhang mal gelesen, finde es aber grade nicht. Statt dessen hab´ich in gleich 2 Büchern gelesen das man nicht "ein beliebiges Vielfaches einer Zeile zur selben Zeile addieren darf, nur zu einer anderen." Sorry, ich such weiter!
08.05.2005, 21:21	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
ähhmmm stimmt..das hat mich nämlich gewundert..aber dachte dann könnte stimmen...naja ich warte und sehe auch nach was ich bekomme
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08.05.2005, 21:51	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
also habe zwar ein hinweis aber weiss nicht wie es löse....a+xb=b losen analog für b kannst du mri dabei weiter helfen
08.05.2005, 23:23	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Formel von Snooper sind wir auf dem richtigen Weg. Aber zuerst genannte Lösungsweg kann nicht stimmen bzw. ist nicht ganz vollständig. Was mich die ganze Zeit verwirrt hat, war das es Determinanten von 1-Spaltigen Matrizen, also Vektoren sind. Also hab´ ich mal anhand eines Beispiels einer 2x2-Matrix Help Me´s Lösungsweg durchgerechnet: Die 1. Zeile = i-te Zeile, die 2.Zeile = j-te Zeile. Ausgangsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} 2+1 & 5+3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}+1\cdot det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} 2+1 & 5+3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Determinanten wären: 9-8=1 = (6-5) + 1*(3-3)= 1 =(18-16)= 2. Vorletzte Gleichung Widerspruch. @Snooper: x wäre dann = (b-a)/b, so ähnlich war das auch, fehlt aber noch etwas... Irgendwie kriegen wir das noch raus, notfalls morgen!
08.05.2005, 23:27	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
können wir das noch heute schaffen ???morgen schon zu spät abgabe zeit
08.05.2005, 23:32	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke schon, ich kann mich daran errinnern dass es im Grunde saudoof einfach war. Wir sehen im Moment halt den Wald vor lauter Bäumen nicnt... Wir müssten erstmal klären was a und b in unserem Falle genau sind, dann hätten wir den Faktor x, bzw. lambda ...
08.05.2005, 23:39	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuche es auch...die ganze zeit aber bekomme keine anständige lösung..naja sehe weiter
08.05.2005, 23:43	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Help Me´s Ansatz ist wahrscheinlich auch nicht so falsch, wenn wir einfach das "det" weglassen. Bei Determinanten führt eine Zeilenvertauschung zu umgekehrtem Vorzeichen. Edit: Schade, das es letzte Nacht nicht mehr geklappt hat, hab´s heute morgen erst ausgetüftelt, hier die Schritte: 1) i-2j 2) j+1 3) i-j 4) (-1)j 5) j+i 6) (-1)i 7) (-1)*j @ Help Me & Snooper: Schreibt bitte ob ihr ein andere, vielleicht einfachere Methode kennengelernt habt.

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