winkelbrechnung gerade/ebene
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08.05.2005, 13:05 abiiiitur Auf diesen Beitrag antworten »
winkelbrechnung gerade/ebene
hallo,
bin seit einigen tagen für mathe am lernen jetzt hat sich aus einem "eigentlich-kein-problem" ein "problem" entwickelt.

folgendes: in einer aufgabe wurde nach dem winkel zwischen der einer gerade und einer ebene gefragt. ich also n vektor der eben ausgerechnet. und dann folgende formel benutzt

(n-vektor)*(richtungsvektor) / (normierter n-vektor)*(normierter richtungsvektor)

das ergebniss dan in sin reingepackt. das ergebniss war 15/wurzel(227). für sin kommt dann da raus: 84.6°

ich schau in der lösung nach und wundere mich weil sie cos statt sin genommen haben. Dafür kommt raus 5.4°

wieso haben sie cos genommen obwohl überallsteht das man für das problem winkel gerade/ebene sin nehmen soll ?!?!

es ist mir aufgefallen das die beiden verschiedene ergebnisse 90 ergeben, also komplementarwinkel... aber mir leuchtet nicht ein, wieso die damen und herren in der lösung mit cos gearbeitet haben und nicht mit sin, wo es doch in mathebüchern, formel und sonst wo steht.....
08.05.2005, 13:32 PK Auf diesen Beitrag antworten »

seltsam.... ich kenn das auch nur mitm Sinus...., vll haben die sich ja vertan, passiert auch mal.
08.05.2005, 13:53 brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
schreib doch bitte einmal die genaue aufgabenstellung hier rein.

aber du hättest dir auch einfach aus der Ebene irgendeine Gerade auswählen können und das dann mit cosinus lösen können. den schnittpunkt kennste ja hoffentlich von Gerade und Ebene oder??

also stelle einfach eine gerade durch den schnittpunkt von Gerade und Ebene auf, indem du den Schnittpunkt als ORtsvektor und dann einfach einen Spannvektor der Ebene als Richtungsvektor für diese Gerade nimmst.


Ist völlig egal, welche GErade du dazu aufstellst, also welchen Richtungsvektor sie hat. sie muss bloß einzig und allein in der Ebene liegen!!



P.S.: du weißt ja hoffentlich, dass du im Zähler das Skalarprodukt bilden musst und im Nenner des BRuches einfach die beträge von richtunsvektor und normalvektor multiplizierst???
08.05.2005, 15:02 PK Auf diesen Beitrag antworten »

er nimmt sich doch das, was man Mustermäßig in den Mathbüchern antrifft: Den Normalenvektor
Zitat:
ich also n vektor der eben ausgerechnet.
das meint er damit.
08.05.2005, 17:04 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

also ich kenne das mehr mit dem cosinus, der winkel zwischen einer ebene und einer geraden ist ja definiert als der winkel zwischen normalenvektor n der ebene und richtungsvektor u der geraden, und dann gilt

werner
08.05.2005, 17:17 reima Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt natürlich ganz drauf an, von welcher Seite man es betrachtet. Ich würde eher sagen, dass der Winkel alpha zwischen einer Gerade g und einer Ebene E dieser hier ist:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

 n |   g
   |   /
   |  /-.
   | / a \
___|/___ |________ E
   /
  /


Das heißt, wenn g genau senkrecht auf E steht, beträgt der Winkel zwischen Gerade und Ebene 90°. Das scheint zumindest mir die natürlichere Betrachtungsweise zu sein.
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08.05.2005, 17:32 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

definition ist definition,
aber wenn es dir anders spaß macht
werner
08.05.2005, 17:38 reima Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du denn deine Definition her? Ich lese immer nur davon, dass der Winkel zwischen Gerade und Ebene dem Winkel zwischen Gerade und senkrechter Projektion der Gerade in die Ebene entspricht.
08.05.2005, 18:00 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zum beispiel hier und überall sonst

zitat:
Schnittwinkel von Gerade und Ebene

Um den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen,
projizieren wir die Gerade in die Ebene. Dann ist der Schnittwinkel zwischen der
Geraden und der Ebene genau der Schnittwinkel zwischen der Geraden und
orthogonalen Projektion in die Ebene (die Situation ist in dem oben genannten
Buch in Form einer MuPAD-Grafik illustriert).

Prinzipiell könnte man zur Berechnung des Schnittwinkels von Gerade und
Ebene wirklich erst die Projektion der Geraden in die Ebenen berechnen und
anschließend den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene als Schnittwinkel
der Geraden mit ihren Projektion in die Ebene berechnen. Dieses Verfahren ist
aber unnötig kompliziert. Einfacher wird es, wenn man sich daran erinnert, dass
der Normalenvektor immer senkrecht auf der Ebene steht, d.h. dass er mit je-
dem Vektor in der Ebene einen rechten Winkel bildet. Daher können wir den
Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion in die Ebene auch wie folgt
erhalten: Wir berechnen einfach den Winkel a zwischen dem Richtungs-
vektor der gegebenen Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.
Anschließend erhalten wir den Winkel f zwischen der Geraden und ihrer
orthogonalen Projektion in die Ebene über f = p/2 - a.

Schauen wir ein Beispiel an: Gegeben seien die Ebene F in Koordinatenform
sowie die Gerade g durch



Die Gerade schneidet die Ebene (diese Behauptung ist in den Übungen
am Ende dieses Abschnitts nachzuweisen). Wir berechnen den Schnittwinkel
gemäß unseren obigen Ausführungen: Zuerst definieren wir die Vektoren in
MuPAD und verwenden dann -- wie üblich -- die linalg::angle, um den
Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene F und dem Richtungsvektor
der Geraden g zu bestimmen:

NormalenvektorF:= matrix([-1,3,-1]):
RichtungsvektorG:= matrix([-1,1, 1]):
alpha:= linalg::angle(NormalenvektorF,
RichtungsvektorG)

aber wie gesagt....
werner
08.05.2005, 18:14 reima Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Quelle bestätigt doch meine Sichtweise, denn es heißt weiter:

Zitat:
Der Winkel f zwischen F und g ist damit im Bogenmaß gegeben durch

phi:= PI/2 - alpha
08.05.2005, 21:08 abiitur Auf diesen Beitrag antworten »

es ist sinus auch in dem beispiel das werner gerade gezeigt hat. ich hab das mal ausgerechnet und das mit sinus gemacht, bei mir kommt da dann 31.48° raus - so auch das ergebniss auf der homepage also eindeutig SINUS!!!!
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