Allgemeine Frage zu Ableitungsregeln

08.05.2005, 15:08

mercany

Allgemeine Frage zu Ableitungsregeln

Hallo erstmal Wink

Ich bin gerade dabei mich mit Differentialrechnung zu beschäftigen und haben in diesem Zusammenhang eine Frage zu den normalen Ableitungsregeln.

Die Regeln selbst sind mir bekannt, und das Prinzipt der Anwendung habe ich glaube ich auch soweit verstanden.
Was mir allerdings noch Schwierigkeiten bereitet, ist zu erkenne, welche Art der Regel ich anwenden muss.

Wäre nett, wenn ich zu jeder Regel mal ein Bsp. bekommen würde - vielleicht auch ein par Tipps, was Merkmale für die verschiedenen Regeln betrifft.

Damit ich mir sicher bin, dass ich nicht wieder etwas falsch interpretiere oder falsche Infos habe, hier nochmal die Regeln,
so wie ich denke das sie gehn:

Produktregel:
$\begin{eqnarray*} (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) \end{eqnarray*}$

Quotientenregel:
$\begin{eqnarray*} (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)*g(x) - f(x) * g'(x)}{g(x)^2} \end{eqnarray*}$

Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} f(g(x)' = f'(g(x)) * g'(x) \end{eqnarray*}$

Weitere Regeln, die ich wissen muss? - bitte keine für spezielle Fkt., zu denen komme ich noch!

Besten Dank
mercany

08.05.2005, 15:25

DerEierMann

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Zitat:

Die Regeln selbst sind mir bekannt, und das Prinzipt der Anwendung habe ich glaube ich auch soweit verstanden.
Was mir allerdings noch Schwierigkeiten bereitet, ist zu erkenne, welche Art der Regel ich anwenden muss

Ich wurde dir raten einfach zu üben. Wann du welche Regel anwenden musst ist eigentlich "klar". Bei ein Produkt benutzt du Produktregel (wie der Name schon sagt). Bei einen Quotient benutzt du Quotientenregel (wie der Name schon sagt).

Die Kettenregel benutzt du, wenn "ein Term in ein Term" steht. Das heisst, wenn du z.B ein Term in klammern hast. z.B $\begin{eqnarray*} f(x)=(ax^2+b)^2 \end{eqnarray*}$ (Leite diese mal allgemein ab)

Oder wenn du ein Term in einer Wurzel hast: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{ax^2+b} \end{eqnarray*}$

Hier mal ein paar übungsaufgaben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2+2)^2*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+1}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{sin(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=5(x^2+1)^4 \end{eqnarray*}$
Bilde doch mal wenn du Zeit hast die Ableitungen und poste doch hier deine Ergebnisse.
[edit]:Weitere Regeln gibt es erstmal nicht Augenzwinkern

. Wichtiger als man denkt ist die Potenzregel. Mit diese kannst du sehr einfach Wurzelfunktionen ableiten Augenzwinkern

09.05.2005, 17:11

mercany

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Hi,

da fängt das Problem schon an.
Ich verstehe jetzt nicht, wie ich die Regeln auf die Fkt. anwende.

Dein erstes Bsp. ist, denke ich mal, mit Kettenregel zu lösen.
Wobei mich das x hinter der Klammer irritiert, da es dann ja auch schon wieder Produktregel sein kann.

Auf jeden Fall ist mir jetzt vollkommen schleierhaft, wie ich das auf die verschiedenen Fkt. anwenden soll verwirrt

Auch die Begriffe innere und äußere Funktion sind für mich noch etwas rätselhaft, da ich aus Beispielaufgaben nicht ersehen kann, wie die darauf kommen.

Gruss
mercany

09.05.2005, 17:46

reima

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Es kann auch vorkommen, dass du mehrere Regeln anwenden musst. Da ist dann schon Konzentration angesagt, vor allem wenn die Regeln noch nicht so richtig "sitzen".

Mal exemplarisch für das erste Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2 + 2)^2 * x \end{eqnarray*}$
Hier haben wir zuerst mal ein Produkt aus $\begin{eqnarray*} u(x) = (x^2 + 2)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x) = x \end{eqnarray*}$ , also Produktregel anwenden:
$\begin{eqnarray*} [u(x)*v(x)]' = u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) = (x^2 + 2)^2 * 1 + u'(x) * x \end{eqnarray*}$
Bei der Ableitung von u(x) scheint dann die Kettenregel geeignet zu sein. Die innere Funktion ist $\begin{eqnarray*} x^2 + 2 \end{eqnarray*}$ , die äußere $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . So, und jetzt mach du weiter smile

09.05.2005, 17:53

Mathespezialschüler

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Ich werds dir bei der ersten Aufgabe mal erklären. Das ist Produktregel und Kettenregel! Es muss ja nicht immer nur eine Regel sein.

$\begin{eqnarray*} u(x)=(x^2+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=x \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$

Also nach Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von v ist klar, für die Ableitung von u musst du jetzt nochmals die Kettenregel anwenden! Du siehst, es können sehr oft mehrere Regeln auf einmal sein!

Zu innere und aüßere Funktion:
Bei einer verketteten Funktion $\begin{eqnarray*} f(g(x)) \end{eqnarray*}$ heißt f äußere, g innere Funktion. Kannst du vielleicht bei $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ selbst die innere und äußere Funktion bestimmen?

edit: Hatte wohl zu viel andere Sachen im Kopf während des Schreibens! Hammer

09.05.2005, 18:02

Frooke

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An alle Quotientenregelliebhaber: Dies ist nur ein Hinweis:
Bedenke, dass Du mit Exponenten Wurzeln und auch Brüche umgehen kannst:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[b]{a}^c=a^{\frac{c}{b}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=a\cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$

Nur so: Falls Du damit die Quotientenregel zugunsten der Produkteregel umgehen willst, kommt zwanglsäufig die Kettenregel ins Spiel!

09.05.2005, 18:31

DerEierMann

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Leute ich denke das geht zu schnell!

Kettenregel:

Die eigentlich Idee der Kettenregel es den (inneren Term) zu substituieren, wodurch dieser dann eine "Grundfunktion" ist, die du ganz normal nach einfachen Regeln ableiten kannst.
Mit Grundfunktionen meine ich:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$
etc...

Hier mal ein einfaches Beispiel:

Wir haben die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun substituieren wir $\begin{eqnarray*} z=2x+1 \end{eqnarray*}$ und erhalten dann eine normale Potenzfunktion, die du ganz normal ableiten kannst.
Wir erhalten also $\begin{eqnarray*} f(x)=z^2 \end{eqnarray*}$ . Du kannst dieses ganz normal nach z ableiten und erhältst dann $\begin{eqnarray*} [z^2]'=2z \end{eqnarray*}$
Nun musst du resubstituieren, du erhälst dann $\begin{eqnarray*} 2(2x+1) \end{eqnarray*}$ .
So das ist der erste Schritt...
Der zweite ist es, das Ganze nochmal mit z' zu multiplizieren.
Wir haben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} z=2x+1 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} [z']=2 \end{eqnarray*}$ .
Am Ende erhalten wir $\begin{eqnarray*} f'(x)=2(2x+1) \cdot 2 \end{eqnarray*}$

Allgemeine Regel:
Sei f eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=g(z(x)) \end{eqnarray*}$ , dann gilt für die Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(z(x)) \cdot z'(x) \end{eqnarray*}$

=> In unserem Fall ist die Äussere Funktion ja $\begin{eqnarray*} g(z(x)) \end{eqnarray*}$ und die innere $\begin{eqnarray*} z(x) \end{eqnarray*}$

Und wie einige vor mir schon sagten; es können mehrere Regeln vorkommen Augenzwinkern

09.05.2005, 21:55

mercany

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Zitat:

Original von DerEierMann
Leute ich denke das geht zu schnell!

ja.... etwas!

Also erstmal möchte ich mich für die zahlreichen Posts von euch allen bedanken.Ich muss mir das Ganze jetzt erstmal durchlesen und durch den Kopf gehen lassen.

Zitat:

Bei der Ableitung von u(x) scheint dann die Kettenregel geeignet zu sein. Die innere Funktion ist x^2 + 2, die äußere x^2. So, und jetzt mach du weiter

Okey! x^2 + 2 wäre ich jetzt auch noch drauf gekommen, jedoch verstehe ich nicht wie ich auf x^2 kommen. Ich weiß, dass das irgendetwas mit dem Quadrat der Klammer zu tun hat... jedoch weiß ich nicht "sicher" was.

Vielen Dank schonmal
und liebe Grüße
Jan

/edit: Ich werde leider erst frühstens morgen Abend Zeit finden, um mir sämtliche Sachen anzuschauen und durchzurechnen. Dementsprechend werde ich auch erst dann entstandene Probleme/Fragen/Lösungen posten können!

09.05.2005, 22:55

reima

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Stell dir das ganze als Hintereinanderschaltung zweier Funktionen vor. Um auf $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ zu kommen, nimmst du dir erst die innere Funktion $\begin{eqnarray*} u_1(x) = x^2 + 2 \end{eqnarray*}$ und benutzt deren Funktionsterm als Parameter für die äußere Funktion $\begin{eqnarray*} u_2(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} u_2(u_1(x)) = u_2(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 \end{eqnarray*}$

Die Kunst dabei ist es jetzt, diesen Vorgang rückgängig zu machen um auf die innere und äußere Funktion zu kommen.

Probier es doch einfach mal bei folgenden Funktionen:
1. $\begin{eqnarray*} a(x) = \sin(x^2) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} b(x) = [\sin(x)]^2 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} c(x) = \sqrt{x + 3} \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} d(x) = \frac{1}{sin(x)} \end{eqnarray*}$
5. $\begin{eqnarray*} e(x) = e^{\cos(x)} \end{eqnarray*}$
6. $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 5x+2}} \end{eqnarray*}$

Tipp: Oft steht der Funktionsterm der inneren Funktion in einer Klammer oder lässt sich einklammern, ohne den Term zu verändern!

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