Symmetrische Gruppe / Normalteiler

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Mathe-Looser Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe / Normalteiler
Hallo Leute,

habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei die Menge aller Bijektionen von und nur für endlich viele .

Zeigen Sie:

1. ist ein Normalteiler von .

2. wird von der Menge erzeugt.

3. ist nicht endlich erzeugt.

Vielen Dank für Eure Hilfe,


Mathe-Looser!
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.
Hast Du irgendeinen Ansatz für die Aufgaben und kommst mit allen Begriffen klar ?
Mathe-Looser Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Über Normalteiler, Erzeugende und Permutationen weiß ich glaub ich Bescheid. G ist ja G ist die Menge aller Bijektionen, die alle bis auf endlich viele m fest lassen.

Aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das beweisen soll...

Lieben Gruß,

Mathe-Looser!
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

für teil 1.) gibts da zumindest eine "Abkürzung".
Sei U Untergruppe von G:
.

Was ist hier deine Gruppe ?

Hilft Dir das weiter ?

edit: Zeig erstmal für aufgabenteil 1) , dass G überhaupt eine Gruppe ist, isnbesondere Untergruppe von G, danach wende das, was ich oben geschrieben habe an.
Mathe-Looser Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... also auf mein Problem angewendet bedeutet das ja wohl:

ist eine Teilmenge von ist Normaleiler von .

Aber was meinst du mit Abkürzung, wie kann ich das am besten aufschreiben??

Lieben Gruß,

Mathe-Looser!
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab gerade meinen beitrag editiert.
also hier nochmal das editierte:


edit: Zeig erstmal für aufgabenteil 1) , dass G überhaupt eine Gruppe ist, isnbesondere Untergruppe von G, danach wende das, was ich oben geschrieben habe an.

mit Abkürzung meinte ich, dass man nicht den vollen üblichen weg gehen muss
Z.B. braucht man , wenn man eine Homomorphismus zwischen 2 Gruppen hat, nur den Halbgruppen hom. zu zeigen, da es dann automatisch auch ein Gruppenhom. ist. da gibts nen satz. so in der richtung meinte ich "abkürzung". vielleicht ist es ja auch nicht wirklich eine abkürzung. eigentlich bin ich in diem gebiet nicht so vertraut.
 
 
Mathe-Looser Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde das mit dem Untergruppenkriterium machen:

1. U ist nicht leer - ist klar

2. Ist u aus U, dass ist auch 1/u in U - ist auch klar, weil sowohl u als auch 1/u mindestens ein Element festhalten soll und somit wieder in U ist.

3. Sind u,v in U, dann ist auch u*v in U. Na ja, wenn ich zweimal etwas festlasse, dann muss es ja auch insgesamt fest bleiben.

Somit ist G eine Untergruppe von S(N).

Geht das so?

Und wie geht es jetzt weiter?

Lieben Gruß,


Mathematicz
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich das richtig, dass f jeweils eine Permutation von S_n ist ?

f(m) != m heisst doch, dass die Identität fehlt oder ?
!= bedeutet ungleich.

nicchtleer, abgeschlossenheit,
was ist mit neutralem ELement ? Inversem ? assoziativität ? muss man im normalfall alles zeigen,
Mathe-Looser Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs bis eben probiert!!!!

ich kriegs einfach nicht hin!
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

das S(N) ist ja die menge aller Bijektionen, das heisst, wir haben hier eine Menge von Funktionen !
Was könnte also das Inverse Element sein für die Fkt f(x) = y ?

f : X --> Y
du suchst also g: Y --> X

das dürfte aus der Schule schon bekannt sein.


was würde dann y zurück abbilden auf das x ?

Zu beachten ist, dass es nur Inverse gibt, wenn die Funktionen bijektiv sind !

genauso zeigst du assoziativität erstmal, es sind ja hier nur funktionen (bijektive ! )

mich macht das neutrale Element gerade ein weni stutzig, vielleicht hilft mal ein anderer ?
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