Verrechnen von Abbildungen

08.05.2005, 16:55	Kein Plan	Auf diesen Beitrag antworten »
Verrechnen von Abbildungen So ich hab folgendes Problem: Ich sitz grad am Satz von Cayley-Hamilton. Den groben Aufbau hab ich begriffen, doch einige Details kapier ich einfach nicht. Ich schreib mal um was es geht. z.z.: Sei f eine lineare Abbildung eines n-dimensionalen K-Vektorraums in sich. Dann gilt $\begin{eqnarray} \chi_f(f)=0 \end{eqnarray}$ In Worten: Setzt man f in das charakteristische Polynom von f ein so erhält man die Nullabbildung. Man muss also zeigen, dass jeder Vektor v aus V auf den man obige Funktion anwendet auf die Null abgebildet wird. Dann wird gesagt, dass der Beweis aus zwei Schritten besteht, im 1. Schritt muss die Existenz eines Unterraums U mit folgenden Eigenschaften gezeigt werden: - v ist Element von U - f(u) ist Element von U, für alle u in U - für das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} f_U \end{eqnarray}$ gilt nun: $\begin{eqnarray} \chi_{f_U}(f)(v)=0 \end{eqnarray}$ Dann geht es weiter, man tut man so als hätte man diese Aussagen schon bewiesen: Nun ergänzt man die Basis von U zu einer V. Dann hat f bezüglich dieser Basis folgende Darstellungsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} M_1 & \\ 0 & M_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei M_1 die zu {v1,...,vm} gehörige Darstellungsmatrix von f_U ist. Dafür soll nun gelten: $\begin{eqnarray} \chi_f=\chi_M=\chi_{M_2}\chi_{M_1}=\chi_{M_2}\chi_{f_U} \end{eqnarray}$ Wieso das so ist weiß ich nicht. Als Tipp steht steht hier Induktion. Naja das werd ich mir dann bei den Übungsaufgaben mal vornehmen..... So, weiter. Dies ist eine Gleichung von Polynomen. Setzen wir darin ein, so erhalten wir die folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \chi_f(f)=\chi_M(f)= [ \chi_{M_2}\chi_{f_U} ] (f)=\chi_{M_2}(f)\chi_{f_U}(f) \end{eqnarray}$ Wieso darf man hier das (f) ausmultiplizieren? So dann gehts weiter: $\begin{eqnarray} \chi_f(f)(v)=[\chi_{M_2}(f)\chi_{f_U}(f)](v)=\chi_{M_2}(f)[\chi_{f_U}(f)(v)]=\chi_{M_2}(f)[0]=0 \end{eqnarray*}$ Wieso darf man hier die eckige Klammer einfach umklammern??? So das wärs ertsmal....
10.05.2005, 00:16	Kein Plan	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß das niemand?
11.05.2005, 13:54	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
zu der ersten Frage, also "Dafür soll nun gelten: ... " das char Pol ist die Determinante der Matrixdarstellung von f in einer beliebigen Basis, in der hier gewählten heisst die Matrix M, das ist deine Matrix mit dem M1 und M2, dann kommt eine Rechenregel für Determinanten, das klappt wegen der Null in der Matrix, dann wieder die allgemeine Schreibweise für fU ohne eine konkrete Basis. zum zweiten: das char Pol ist eine Funktion, die hier in ein Produkt zerlegt wird. zB x²+3x+2=(x+2)(x+1) hier setzt man aber für das x keine reelle Zahl sondern ein Polynom ein. Das heisst, überall, wo vorher x stand, schreibt man jetzt f(u), damit ist die Gleichung immer noch richtig. die letzte Gleichung ist wieder dieses Prinzip, aber ich würde die Notation ein bisschen abändern. $\begin{eqnarray} \chi(f)(v)=[\chi_{M_2}(f)\chi_{fU}(f)](v)=\chi_{M_2}(f)(v)\chi_{fU}(f)(v)=\chi_{M_2}(f)(v)0=0 \end{eqnarray*}$

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