Kern eines Ringhomomorphismuss

08.05.2005, 17:32	rechnerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern eines Ringhomomorphismuss Hallo Leute, ich habe eine große Bitte! Ich soll zeigen, dass für jeden Ringhomomorphismus f:R->R´ der Kern ker(f)=(xlatex\in/latexR;f(x)=0) ein Ideal in R ist. ich verstehe das mit dem Formeleditor nicht so ganz. Das mit dem Latex soll auf jeden Fall heissen: x ist Element von R!!! Ich weiss, dass es auf jeden Fall so ist, nur kann ich es nicht zeigen. Könnt Ihr mir vielleicht helfen? Ich bin kurz vor Ende meine Aufgabe und brauch nur noch diese kleine Teilaufgabe, damit ich weiterrechnen kann. Wäre super und vielen Dank schonmal
08.05.2005, 17:45	The_Lion	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo. Weisst Du was ein Ideal ist ? Se I Unterring von R $\begin{eqnarray} I \ ist \ Ideal \ in \ R <=> I R \cup R I \subset I \end{eqnarray}$ Das heißt also, dass wenn man irgendwelche Ringelemente aus dem Oberring, die ja auch in I sein können, mit ELementen von I verknüpft, dass das Ergebnis wieder in I liegt. Bsp: Sei (R,+,) Ring und I Unterring. Sei x€ R und i €I. xi und i*x müssen wieder in I liegen, (für alle x € r, i€ I ) Zu deiner Aufgabe: Nimm dir Kernelemente raus und verknüpfe sie mal mit irgendwelchen Elementen aus dem gesamten Ring. Was fällt dir auf, wenn du die Rechenregeln des Homomorphismus anwendest ?
08.05.2005, 22:04	rechnerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, hab mich noch gar nicht wieder zurück gemeldet. Sitz aber auch erst seit ner Stunde wieder dran. Super vielen Dank nochmal. Glaub ich weiss solangsam, worauf es hinausgeht. Hab ich es richtig verstanden, dass ich mir also ein Element (bspw. x element R) aus dem Ring und dann noch ein weiteres Element aus meinem Ideal a(bspw. a´ element a)nehmen muss? Ich weiss, dass a Untergruppe bzgl der Addition ist, sonst wäre a kein Ideal. Dann verknüpf ich diese beiden: x+a´=...so, jetzt ists bei mir aus. Ab solchen Schritten weiss ich immer gar nicht mehr weiter, dh. wie ich dann soetwas mathematisch richtig aufschreibe. Weiss auch nicht genau, was Du mit den Rechenregeln des Homomorphismus meinst. Meinst Du sowas wie f(x+y)=f(x)+f(y)? Wäre super, wenn Du mir diesbezüglich doch nochmal weiterhelfen könntest!!!
08.05.2005, 22:33	The_Lion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal: $\begin{eqnarray} I \ ist \ Ideal \ in \ R <=> I R \cup R I \subset I \end{eqnarray}$ dabei ist I R bzw R I das Komplexprodukt. Bei dem Komplexprodukt benutzt man soweit ich weiß, keine Addition, sondern die multiplikative Verknüpfung. Ja,die Rechenregeln für Ringhomomorphismen sind definitionsgemäß erstmal 1.) f(x+y) = f(x) +f(y) und 2.) f(xy) = f(x)f(y). Es gibt da noch f(-a) = - f(a) was aus obigem eigentlich folgt. Da ja das Komplexprodukt multiplikativ ist, also , kannst du von diesen regeln ja nur eines verwenden für das was ich hier in der Antwort oben sagte (für Ideale). also Du weisst was ein untering ist ? Um das zu überprüfen, gibt es zwei Unterringkriterien. $\begin{eqnarray} S \ ist \ Unterring \ vom \ Ring \ R <=> x-y \in S \ und \ xy \in S \end{eqnarray}$ das zeigst Du erst einmal für den Kern. danach musst du das ganz oben geforderte für das Ideal zeigen. Was heißt es, dass $\begin{eqnarray} a \in ker f \end{eqnarray}$ ist ? Was bedeutet das laut Definition ?
09.05.2005, 08:25	rechnerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank dafür. Habe zwar immernoch meine Probleme mit dem Aufschreiben, aber ich denke das wird schon. Ich wünsch Dir noch einen schönen Tag
09.05.2005, 12:05	The_Lion	Auf diesen Beitrag antworten »
wünsch ich Dir auch. Klappt es nun mit dem Beweis ? Schreib dasdoch mal hier rein, was Du bisher hast.
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