Sinus Cosinus

08.05.2005, 17:56	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus Cosinus Hallo habe foldende aufgabe zu bearbeiten und den folgenden Lösungsweg angewandt. Frage: Für $\begin{eqnarray} t \in (\mathbb R ) \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A_t := \begin{pmatrix} cos~t & -~sin~t \\ sin~t & cos~t \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Sinus und Cosinus werden als bekannt vorausgesetzt, ihre Eigenschaften entnehme man einer Formelsammlung. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} A_s \cdot A_t = A_{s+t} = A_t \cdot A_s \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s,t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt. Lösungsweg: Für $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A_t := \begin{pmatrix} cos~t & -~sin~t \\ sin~t & cos~t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ z.z: $\begin{eqnarray} A_s \cdot A_t = A_{s+t} = A_t \cdot A_s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_s \cdot A_t = \begin{pmatrix} cos~s & -~sin~s \\ sin~s & cos~s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} cos~t & -~sin~t \\ sin~t & cos~t \end{pmatrix} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos~s \cdot cos~t~-~sin~s \cdot sin~t & -~cos~s \cdot sin~t~-~sin~s \cdot cos~t \\ sin~s \cdot cos~t~+~cos~s \cdot sin~t & -~sin~s \cdot sin~t~+~cos~s \cdot cos~t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} cos~(s \cdot t \cdot t) & -~sin~(s \cdot t \cdot t) \\ sin~(s \cdot t \cdot t) & cos~(s \cdot t \cdot t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei wir im folgenden, die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus $\begin{eqnarray} sin (s \cdot t \cdot t)= sin~s \cdot cos~t~+~cos~s \cdot sin~t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(s+t) = cos~s \cdot cos~t~-~sin~s \cdot sin~t \end{eqnarray}$ als bekannt vorausgesetzt haben. $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} cos~t \cdot cos~s~-~sin~t \cdot sin~s & -~cos~t \cdot sin~s~-~sin~t \cdot cos~s \\ sin~t \cdot cos~s~+~cos~t \cdot sin~s & -~sin~t \cdot sin~s~+~cos~t \cdot cos~s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} cos~t & -~sin~t \\ sin~t & cos~t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} cos~s & -~sin~s \\ sin~s & cos~s \end{pmatrix} = A_t \cdot A_s \end{eqnarray}$
08.05.2005, 19:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinus Cosinus Ja, und weiter? Jetzt noch ein paar Additionstheoreme und die Sache ist gegessen!
08.05.2005, 20:02	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinus Cosinus So jetzt bin ich fertig. Ist es denn richtig???
08.05.2005, 20:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn dieses $\begin{eqnarray} s \cdot t \cdot t \end{eqnarray}$ ? Wenn du das jedesmal durch $\begin{eqnarray} s+t \end{eqnarray}$ ersetzt, dann sieht das richtig aus.
08.05.2005, 20:10	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
also sonst ist alles okay?wenn ich das ersetze bin ich doch feertig damit ne??oder muss da noch was geziegt werden??

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