LGS lösungsmenge bestimmen

02.01.2008, 14:09

oliuber

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LGS lösungsmenge bestimmen

[von folgendem lgs soll ich die lösungsmenge bestimmen,

http://i105.photobucket.com/albums/m239/souljumper/Clipboard02.jpg

zuerst hab ich den Gauß angewendet

Erste Zeile *(-2) auf zweite addiert
Erste Zeile *1 auf dritte addiert

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 & 0 \\0 & -10 & -14 & -20 & 1 \\ 0 & 5 &8 & 10 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zweite Zeile *0.5 auf dritte addiert

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 & 0 \\0 & -10 & -14 & -20 & 1 \\ 0 & 0 &1 & 0 & 7/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit so gut, aber was muss ich nun machen um die lösungsmenge zu bilden?

02.01.2008, 14:34

klarsoweit

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RE: LGS lösungsmenge bestimmen
Als erstes brauchst du eine spezielle Lösung. Aus der 3. Zeile kannst du entnehmen, wie die 3. Komponente zu wählen ist.

02.01.2008, 14:36

tigerbine

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RE: LGS lösungsmenge bestimmen
Bitte nicht diese erweite Koeffizienten-Matrix Schreibweise und dann auch noch die | weglassen. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 \\2 & 0 &0 &-2\\-1 & 0 &1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun Gauß-Algo:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 \\-1 & 0 &0 &1\\-1 & 0 &1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.5\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 \\0 & 5 &7 &10\\0& 5 &8 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.5\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 \\0 & 5 &7 &10\\0& -5 & -8 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.5\\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 \\0 & 5 &7 &10\\0& 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.5\\ -3.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 & 9 \\0 & 5 &7 &10\\0& 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -0.5\\ 3.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das mal nur zum Formalen. Nun sagte klarsoweit ja schon, wie es weiter geht. Wir haben 3 Gleichungen für 4 Unbekannte. Es ist daher x4 frei wählbar. Die anderen Komponenten werden dann in dieser Abhängigkeit angegeben.

02.01.2008, 15:09

oliuber

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hm....unser ergebnis ist identisch, bis auf die zweite zeile. was hab ich den da falsch gemacht verwirrt

verwirrt

abgesehen von der formalen schreibweise)

woher weis ich, dass ich jettz mit x1-x4 zu arbeiten hab und nicht mit x1-x3 verwirrt

verwirrt

02.01.2008, 15:14

tigerbine

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Du hast da nichts falsch gemacht. Ich habe da durch (-2) geteilt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

woher weis ich, dass ich jettz mit x1-x4 zu arbeiten hab und nicht mit x1-x3 verwirrt

Weil die Matrix 3x4 ist.

02.01.2008, 15:22

oliuber

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ok.

$\begin{eqnarray*} x_3 = 3.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 3.5 + (-20)*x_4 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 50/(-30 * x4) \end{eqnarray*}$

is das soweit richtig?

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02.01.2008, 15:25

klarsoweit

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Es ist immer wieder erstaunlich, wie selbst einfache Gleichungen zu solchem Chaos führen. unglücklich

unglücklich

Das x_4 ist - wie schon gesagt - frei wählbar. Da würde ich es mal mit x_4 = 0 versuchen. smile

smile

02.01.2008, 15:33

oliuber

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gut....

$\begin{eqnarray*} x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ (frei wählbar)
$\begin{eqnarray*} x_3 = 3.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 3.5 + (-20)*0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 3.5 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 = 50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 50/-10 = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 5* x_2 + 7 * x_3 + 9 * x_4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 + 5* -5 + 7 * 3.5 + 9 * 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 -0.5 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 =0.5 \end{eqnarray*}$

so?

02.01.2008, 15:41

klarsoweit

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OK. Damit hast du eine spezielle Lösung. Nun brauchst du noch die allgemeine Lösung des homogenen GLS, wo also auf der rechten Seite der Nullvektor steht.

02.01.2008, 15:49

oliuber

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d.h. da vorher meine 3.5 und 1 stand steht jetzt eine null ?!?

$\begin{eqnarray*} x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ (frei wählbar)
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 0 + (-20)*0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 0/-10 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 5* 0 + 7 * 0 + 9 *0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

.....das war sicherlich falsch......

02.01.2008, 15:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von oliuber
d.h. da vorher meine 3.5 und 1 stand steht jetzt eine null ?!?

Ja.

Zitat:

Original von oliuber
$\begin{eqnarray*} x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ (frei wählbar)

Falsch gewählt. Entweder wählst du x_4 = t oder x_4 = 1, wobei dann die Lösungsmenge der span der sich daraus ergebenden Lösung ist.

02.01.2008, 15:57

tigerbine

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das x_4 ist - wie schon gesagt - frei wählbar. Da würde ich es mal mit x_4 = 0 versuchen. smile

smile

Erstaunt2

Augenzwinkern

02.01.2008, 16:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von klarsoweit
Das x_4 ist - wie schon gesagt - frei wählbar. Da würde ich es mal mit x_4 = 0 versuchen. smile

smile

Erstaunt2

Augenzwinkern

Als ich das sagte, ging es um die spezielle Lösung. Da kann man für die frei wählbare Variable wirklich alles nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2008, 16:04

oliuber

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$\begin{eqnarray*} x_4 = 1 \end{eqnarray*}$ (frei wählbar)
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 0 + (-20)*1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 - 20 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 = 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 20/-10 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 5* -2 + 7 * 0 + 9 *1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 - 10 + 9 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$

woran weis ich, was ich für x_4 wählen darf und was nicht.

damit hab ich dann jetzt das gleichungssystem gelöst?! die lösungsmenge davon ist jetzt was?

03.01.2008, 10:07

oliuber

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Zitat:

Original von oliuber
$\begin{eqnarray*} x_4 = 1 \end{eqnarray*}$ (frei wählbar)
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10*x_2 + (-14) * 0 + (-20)*1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 - 20 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -10*x_2 = 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 20/-10 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 5* -2 + 7 * 0 + 9 *1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 - 10 + 9 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$

woran weis ich, was ich für x_4 wählen darf und was nicht.

damit hab ich dann jetzt das gleichungssystem gelöst?! die lösungsmenge davon ist jetzt was?

03.01.2008, 10:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von oliuber
woran weis ich, was ich für x_4 wählen darf und was nicht.

Holen wir mal etwas aus:
Zunächst sind alle Variablen nicht frei wählbar, die jeweils den ersten Nicht-Null-Elementen jeder Zeile entsprechen. Bleibt also x_4 als frei wählbare Variable.

Bestimmung der speziellen Lösung: hier ist es am einfachsten, die freie Variable gleich Null zu wählen.

Bestimmung der allgemeinen Lösung des homogenen GLS: hier setzt man sukzessive jede freie Variable gleich 1 (oder einen anderen Nicht-Null-Wert) und die jeweils restlichen freien Variablen gleich Null. Bei n freien Variablen erhält man auf diese Weise n Lösungen, die eine Basis des Lösungsraum des homogenen GLS bilden.

01.07.2010, 16:32

Helloagain

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schlechter und missverständlicher kann dies ein mensch wirklich nicht beschreiben, als 'klarsoweit'!

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