Nochmals Lambert-W

09.05.2005, 16:43

Frooke

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Nochmals Lambert-W

Sorry Leute, aber ich habe schon wieder eine «lambert'sche Frage»:

Vermutlich bin ich einfach zu wenig kreativ, aber wie löst man denn eine Gleichung der Form:
$\begin{eqnarray*} xe^{x^2}=y \end{eqnarray*}$
nach x auf? Ich komm da irgendwie nicht weiter...
In diesem Sinne interessierten mich natürlich auch Gleichungen wie
$\begin{eqnarray*} xe^{x^3}=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xe^{x^n}=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xe^{x^x}=y \end{eqnarray*}$
Und eine formale Umkehrung des infiniten Exponentialturmes wollte mir auch noch nicht glücken - wobei ich da nochmals konzentrierter ran muss. Das darf ja nicht so schwierig sein...
Bin dennoch dankbar für Tipps bezüglich der Auflösung nach x dieser Gleichung
$\begin{eqnarray*} x{^{x^{x^{x^{.^.}}}}}=y \end{eqnarray*}$

Besten Dank Wink

Wink

09.05.2005, 17:06

iammrvip

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RE: Nochmals Lambert-W
Hallo Wink

Wink

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x{\rm exp}(x) = y \Leftrightarrow x = W(y) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\mathrm e^x = y \Leftrightarrow x = W(y) \end{eqnarray*}$

Irgendwo hinschreiben oder einhämmern, wenn du unbedingt damit rechen willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} xe^{x^2}=y \end{eqnarray*}$

Hier hätten wir dann

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \pm\sqrt \frac{W(2y^2)}{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x = \frac{y}{\mathrm e^{W(2y^2)/2}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} xe^{x^x}=y \end{eqnarray*}$

Kann man nur numerisch lösen...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x{^{x^{x^{x^{.^.}}}}}=y \end{eqnarray*}$

Lässt sich nicht explizit nach x auslösen unglücklich

unglücklich

09.05.2005, 17:22

Frooke

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RE: Nochmals Lambert-W

Zitat:

Original von iammrvip
Hallo Wink

Wink

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x{\rm exp}(x) = y \Leftrightarrow x = W(y) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\mathrm e^x = y \Leftrightarrow x = W(y) \end{eqnarray*}$

Irgendwo hinschreiben oder einhämmern, wenn du unbedingt damit rechen willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Siehe Titel und den Exponentialturmthread: Das weiss ich schon (nur stellen sich manchmal ein paar Probleme beim Umgang Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} xe^{x^2}=y \end{eqnarray*}$

Hier hätten wir dann

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \pm\sqrt \frac{W(2y^2)}{2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x = \frac{y}{\mathrm e^{W(2y^2)/2}} \end{eqnarray*}$

Ja klar, ich Volldepp. Da ist der Knoten geplatzt! Super! Vielen Dank! Freude

Freude

Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

$\begin{eqnarray*} xe^{x^x}=y \end{eqnarray*}$

Kann man nur numerisch lösen...

So etwas ähnliches hab ich mir eben gedacht...

Aber für die Gleichung
$\begin{eqnarray*} xe^{x^n}=y \end{eqnarray*}$
läufts nach dem Prinzip, das Du beim Hochzwei benutzt hast oder?

Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x{^{x^{x^{x^{.^.}}}}}=y \end{eqnarray*}$

Lässt sich nicht explizit nach x auslösen unglücklich

unglücklich

Ich bin nicht sicher, aber ich glaube, dass ich das irgendwie noch mit der geschlossenen Form hinkriegen sollte (auf jeden Fall versuch ichs noch mal)... Bzw. Bist Du sicher, dass das nicht geht (auch nicht mit der geschlossenen Form des Exponentialturms?)

Wie dem auch sei: Vielen Dank schon mal für deine Ausführungen...
Wink

Wink

PS: Noch so eine Privatfrage: Du bist erst 17 und kannst schon so saugut mit dieser W-Funktion (und auch vielen anderen Mathedingern) umgehen... Wie kommt das?

09.05.2005, 17:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x{^{x^{x^{x^{.^.}}}}}=y \end{eqnarray*}$

Lässt sich nicht explizit nach x auslösen unglücklich

unglücklich

Nicht so voreilig!
@Frooke
Das geht genauso wie in dem anderen Thread mit dem Spezialfall y=2! Setz doch in diesem Post von henrik nur mal $\begin{eqnarray*} h(x)=y \end{eqnarray*}$ und löse dann die entstehende Gleichung nach x auf!
Siehe auch diesem Thread

09.05.2005, 17:45

iammrvip

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RE: Nochmals Lambert-W

Zitat:

Original von Frooke

Zitat:

Original von iammrvip
[quote] $\begin{eqnarray*} x{^{x^{x^{x^{.^.}}}}}=y \end{eqnarray*}$

Lässt sich nicht explizit nach x auslösen unglücklich

unglücklich

Nehm alles zurück, vor allem meinen scheiß Ausdruck...

Zitat:

PS: Noch so eine Privatfrage: Du bist erst 17 und kannst schon so saugut mit dieser W-Funktion (und auch vielen anderen Mathedingern) umgehen... Wie kommt das?

Schick dir mal ne PN.

Zitat:

läufts nach dem Prinzip, das Du beim Hochzwei benutzt hast oder?

Noch ein paar Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x\mathrm e^{x^2} = y &\Leftrightarrow x = \frac{y}{\mathrm e^{W(2y^2)/2}} \\ x\mathrm e^{x^3} = y &\Leftrightarrow x = \frac{y}{\mathrm e^{W(3y^3)/3}} \\ x\mathrm e^{x^4} = y &\Leftrightarrow x = \frac{y}{\mathrm e^{W(4y^4)/4}} \\ \vdots \\ x\mathrm e^{x^n} = y &\Leftrightarrow x = ... \end{eqnarray*}$

09.05.2005, 17:53

Frooke

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@MSS & iammrvip: Jepp, ist mir grad gelungen, (sogar noch bevor ich's gelesen hab, *strike* Augenzwinkern

Augenzwinkern

)... Vielen Dank trotzdem...
Ich habs aber etwas mühsamer gemacht, als in Henriks Rätsel und ich kriege

$\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{.^.}}}=y \Leftrightarrow x=e^{\frac{\ln (y)}{y}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? (ich habs über die geschlossene Form des Exp-Towers gemacht)

PS: Hier kurz mein Lösungsweg:
$\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{.^.}}}=-\frac{\mathrm W \left(-\ln (x)\right)}{\ln (x)}=y \Leftrightarrow \\ y=-\frac{\mathrm W \left(-\ln (x)\right)}{\ln (x)} \Leftrightarrow y\ln (x) e^{-y \ln (x)}=\ln (x) \Leftrightarrow \\ y=e^{y \ln (x)} \Leftrightarrow\ln (y) = y\ln (x) \Leftrightarrow x=e^{\frac{\ln (y)}{y}} \end{eqnarray*}$

@iammrvip: No Problem! Hat ja geklappt. Danke noch für deine Gleichungen!

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09.05.2005, 18:02

Mathespezialschüler

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Ja, stimmt. Wende mal ein Log-Gesetz an und dann kannst du $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\ln(...)}=... \end{eqnarray*}$ benutzen!
Aber wie gesagt, es geht auch einfach wie in dem Post von henrik:

$\begin{eqnarray*} h(x)=x^{x^{x^{...}}}=x^{h(x)} \end{eqnarray*}$

oder eben mit y:

$\begin{eqnarray*} y=x^{x^{x^{...}}}=x^y \end{eqnarray*}$

Also (y-te Wurzel ziehen)

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[y]{y}=y^{\frac{1}{y}} \end{eqnarray*}$

09.05.2005, 18:11

iammrvip

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machen wir noch mal zur Kontrolle Big Laugh

Big Laugh

:

$\begin{eqnarray*} x\mathrm e^{x^n} = y &\Leftrightarrow x = \frac{y}{\mathrm e^{W(ny^n)/n}} \end{eqnarray*}$

09.05.2005, 18:20

Frooke

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@MSS:
Ja, da hab ich geschlampt. Einfach aufhören, bevor man fertig ist... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x=e^{\frac{\ln (y)}{y}}&=e^{\ln\left(y\right)\cdot y^{-1}} \\ & =\left(y^{\frac{1}{y}}\right)\\ & =\sqrt[y]{y} \end{eqnarray*}$

Hat aber geklappt Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Natürlich ist Henriks Weg einfacher und sogesehen auch eleganter, aber ich finds über die geschlossene Form sehr interessant (und es tut mir gut, mal ein paar Gleichungen zu lösen, hab ja bald die Matura (Abi))... - wobei da wohl kaum Lambert-W vorkommt Big Laugh

Big Laugh

@iammrvip: Yo! THX!

09.05.2005, 19:10

AD

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Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{.^.}}}=y \Leftrightarrow x=e^{\frac{\ln (y)}{y}} \end{eqnarray*}$

Euch ist aber schon klar, dass das nur für $\begin{eqnarray*} y\leq e \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

09.05.2005, 19:17

Mathespezialschüler

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Nein, das ist mir nicht klar. Warum sollte es nur für $\begin{eqnarray*} y\leq \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ gelten?

09.05.2005, 19:24

AD

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Nehmen wir mal als Beispiel y=2 und y=4. Dann kommt nach eurer Rechnung beides mal $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ raus.

Somit habt ihr dann den "Beweis" von 2=4 gefunden, herzlichen Glückwunsch. Gott

Gott

09.05.2005, 19:33

Mathespezialschüler

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*g* Berechtigter Einwand, Arthur!

Unsere Herleitung ist mathematisch sicher nicht sauber.
Wie kommst du aber jetzt darauf, dass das genau nur für $\begin{eqnarray*} y\leq \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ gilt?
Und hat jmd. vielleicht mal den Graphen von $\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{...}}}=-\frac{\mathrm W \left(-\ln (x)\right)}{\ln (x)} \end{eqnarray*}$ für mich? Den würd ich gern mal sehen!

09.05.2005, 19:46

Frooke

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@ Arthur: Es war ja von Anfang an klar, dass dies nur eine formale Umkehrung ist, hatte ich ja auch geschrieben... Aber deinen Einwand sehe ich zwar ein, aber woher nimmst Du ihn, wie kommst Du darauf?

=> Wenn man's umkehren wollte, müsste man sowieso partiell umkehren, nehm ich mal an, weil die Umkehrfunktion sonst überlagernde Blätter hätte.

@ MSS: Da ich leider Mathematica nicht mehr hab, kann ich keine Zeichnung bieten, aber hast Du das nicht? Als Mathespezialschüler smile

smile

?

Falls Du es haben solltest: W(x) wird dort geschrieben als ProductLog[x]...

09.05.2005, 19:47

AD

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Als Experten der LambertW-Funktion werdet ihr doch wohl den Fehler in eurer Äquivalenzkette selbst finden. Liegt sicher irgendwie daran, dass die LambertW-Funktion für bestimmte Argumente zwei Zweige hat...

09.05.2005, 19:52

Frooke

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verwirrt

Kannst Du das etwas genauer erläutern? Wie soll die Funktion für bestimmte Argumente zwei Zweige haben?

09.05.2005, 20:05

AD

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Siehe
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert%27s_W_function

Für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e}<x<0 \end{eqnarray*}$ hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} y\cdot e^y=x \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene reelle Lösungen. Und genau in den Bereich scheint ihr irgendwo reingerauscht zu sein.

09.05.2005, 20:15

Frooke

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Danke Arthur, war eigentlich klar mit den zwei Ästen (wenn man xe^x betrachtet) traurig

traurig

(heul)...
Ich sehe aber nicht, wo wir da genau reingerutscht sind...

Und nochwas. Ich darf doch behaupten, dass der unendliche Potenzturm für x>1 monoton steigt, also per Definition dort eine Umkehrfunktion besitzen müsste... Wie kommt man denn an die ran, wenn «unsere» Lösung nur für 0<x<e gilt? Dann müsste man das Problem nochmals für x>e betrachten... verwirrt

verwirrt

09.05.2005, 20:19

AD

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Für $\begin{eqnarray*} x>\sqrt[e]{e} \end{eqnarray*}$ divergiert der "Potenzturm" gegen +Unendlich. Und für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq\sqrt[e]{e} \end{eqnarray*}$ werden nur Werte $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq e \end{eqnarray*}$ erreicht.

09.05.2005, 20:26

Frooke

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Für $\begin{eqnarray*} x>\sqrt[e]{e} \end{eqnarray*}$ divergiert der "Potenzturm" gegen +Unendlich.

Wie komm ich nur auf Wurzelturm, editiers grad weg sorry!

Da müsste es aber für dieses Intervall bis unendlich eigentlich eine Umkehrfunktion geben... verwirrt

verwirrt

Aber wo sind wir da in diesen Zweiwertbereich geschlittert? Bzw. Weshalb hat die Tatsache des in diesen Bereich-Schlitterns zur Folge, dass der Definitionsbereich «unserer» Umkehrung auf diese Weise eingeschränkt wird?

Ausserdem bin ich der Meinung, dass man in diesem Fall dann nicht mehr von Funktion, sondern von Relation sprechen sollte, weil eine Funktion per Definition eigentlich jedem x aus der Definitionsmenge genau ein y aus der Wertemenge zuordnet.

(Könnte man den Fehler korrigieren, indem man die Sache noch für den anderen Relationssarm untersucht? (dazu müsste man den Fehler natürlich finden Hammer

Hammer

))

09.05.2005, 20:32

AD

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Ich denke, der Fehler liegt hier:

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} y=-\frac{\mathrm W \left(-\ln (x)\right)}{\ln (x)} \Leftrightarrow y\ln (x) e^{-y \ln (x)}=\ln (x) \end{eqnarray*}$

Es gilt nämlich nur die eine Richtung:
$\begin{eqnarray*} y=-\frac{\mathrm W \left(-\ln (x)\right)}{\ln (x)} \Rightarrow y\ln (x) e^{-y \ln (x)}=\ln (x) \end{eqnarray*}$

Das kannst du am Beispiel $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2},\,y=4 \end{eqnarray*}$ überprüfen: Rechts steht eine wahre Aussage, links eine falsche (sofern W(..) der Hauptzweig der LambertW-Funktion ist).

09.05.2005, 20:51

Frooke

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Da hab ich noch eine Frage - sorry, wird wohl langsam lästig - aber wie genau drückt man denn den unteren Zweig aus?

Also konkret: Wie kehrt man
$\begin{eqnarray*} f(x):=xe^x, \; x \in ]-\infty;-1] \end{eqnarray*}$
um?

Denn die Lambert-W-Funktion ist ja für reelle x definiert als:
$\begin{eqnarray*} f(x):=\mathrm W(x), \; x \in [-\frac{1}{e};\infty[ \text{ und } \mathbb W = ]-1:\infty[ \end{eqnarray*}$

... verwirrt

verwirrt

09.05.2005, 21:09

AD

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Keine Ahnung, in MuPAD etwa hat man der LambertW-Funktion extra für diesen Fall einen Extra-Parameter verpasst:

code:
1: 2: 3: 4:	lambertW(-0.2) = -0.2591711018 lambertW(0,-0.2) = -0.2591711018 lambertW(-1,-0.2) = -2.542641358

09.05.2005, 21:21

iammrvip

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und hat jmd. vielleicht mal den Graphen von $\begin{eqnarray*} x^{x^{x^{...}}}=-\frac{\mathrm W \left(-\ln (x)\right)}{\ln (x)} \end{eqnarray*}$ für mich?

Hier bidde smile

smile

:

09.05.2005, 21:25

Frooke

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Keine Ahnung, in MuPAD etwa hat man der LambertW-Funktion extra für diesen Fall einen Extra-Parameter verpasst:

code:
1: 2: 3: 4:	lambertW(-0.2) = -0.2591711018 lambertW(0,-0.2) = -0.2591711018 lambertW(-1,-0.2) = -2.542641358

und was bedeuten diese Parameter konkret?

09.05.2005, 21:26

iammrvip

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09.05.2005, 21:48

Frooke

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Sorry, aber das kann ich nicht nachvollziehen. unglücklich

unglücklich

Es ist mir durchaus bewusst, dass W(x) für -1/e<x<0 zwei Lösungen hat, für x>0, dann nur noch eine, aber das würde doch bedeuten, dass man sich allenfalls im erstgenannten Intervall für zwei Arme entscheiden müsste, was sollen aber all die k's???

Oder konkreter gefragt, was bedeutet k=1, was k=2 usw. k=0 ist mir klar...

EDIT: Vermutlich steigere ich mich momentan in eine Spirale des Unverständnisses hinein. Mal sehen ob's morgen besser geht! Ich schau noch Schweiz-Weissrussland fertig und hau mich aufs Ohr. Bis moin! Schläfer

Schläfer

Schläfer

Zzzzzz...

14.05.2005, 22:29

Frooke

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Yo! Ich komm nochmals auf diese Sache - abschliessend - zurück: Ich denke, dass man allgemein bei der Anwendung dieser W-Funktion viel vorsichtiger sein müsste (Definitionsbereiche) usw. und dann ginge das schon irgendwie, aber diese k-Werte (@iammrvip) beziehen sich glaube ich auf den komplexen Raum... (Ich werd mal sehen, ob ich's schaffe, aber da lass ich mir Zeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Jedenfalls noch ein grosses Dankeschön an alle Helfer!

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