Algebra

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Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra
Hallo leute,

kann mir vielleicht mal jemand bei folgenden Aufgaben unter die Arme greifen und mir ein paarr Tips geben?

Vielen Dank

Die Aufgaben lauten:

1) Jeder Ring ist in eindeutiger Weise eine

2) Jeder Ringhomomorphismus ist in eindeutiger Weise ein

Nochmals danke

Mathestudent
phi Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) d.h. jeder Ring hat die gleichen Strukturen wie die ganzen Zahlen. Ein Ring hat alles was ein Körper hat außer dem 1-Element und dem Inversen bezüglich der Multiplikation (keine Brüche).

zu2) schau mal hier nach: http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphismus
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra
Hey, Wink

habe einen Ringhomomorphismus gefunden wo ich denke das über diesen Homomorphismus die Aufgabe leichter lösen könnte. Freude

Ich schreibe euch jetzt mal hin was ich mit überlegt habe und ihr sagt mir bitte ob das reicht und wie ich gegebenenfalls diesen Homomorphismus auf die 2 Aufgabe übertragen kann.

Vielen Dank

Mathestudent

Meine Überlegung: verwirrt


mit

Weiterhin gilt:

d.h. also nichts anderes als das jede ganze Zahl durch eine natürliche Zahl ausgedrückt werden kann.
Dafür überprüft man jetzt die Eigenschaften im Bezug auf den Ring-
homomorphismus:




und dies n-mal
jeweils für positive natürliche Zahlen und negative Natürliche Zahlen
also:


Bitte geb mal ein Statement ab was ihr davon haltet und ob ihr denkt das das reicht um zu zeigen:
Das Jeder Ring in eindeutiger Weise eine ist.
Danke Gott
phi Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) Das sieht gut aus.

zu 2)Bin ich selbst noch am studieren, vielleicht hilft das hier weiter:

Ringhomomorphismus zwischen (A, *, +, 1, 0) und (B, *, +, 1, 0), wenn für alle a, b A gilt:
f ist Gruppenhomomorphismus bzgl. "+", und
f(a * b) = f(a) * f(b)

Analog zu oben gelten dann auch die direkten Folgerungen f(1) = 1 und f(a 1) = f(a) = 1.

Kern(f) := {a A : f(a) = 0}
(Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal von A.)

Der Ringhomomorphismus f ist injektiv, genau dann wenn der Kern trivial ist (d.h. nur das neutrale Element aus A enthält).

Beweis:

Sei f injektiv und f(h) = 0. Da f Hom ist, ist f(0) = 0 = f(h), und damit h = 0, da f injektiv. Also ist Kern(f) = {0}. Umgekehrt sei Kern(f) = {0}. Betrachte h und h' mit f(h) = f(h'). Dann ist 0 = f(h) - f(h') = f(h - h'), also h - h' Kern(f) = {0}. Also ist h - h' = 0, also h = h' und damit f injektiv.

Da ein Körper K nur K und {0} als einzige Ideale hat, ist damit ein Körperhomomorphismus insbesondere immer injektiv.
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra
Hi Phi,

kannst du mir vielleicht mal kurz erklären was du unter dem 5-Tupel
, verstehst.

Mir ist klar das A und B bei dir die Ringe sind damit du aus dem Ringhomomorphismus den du oben beschreibst einen Algebrahomomorphismus erzeugen kannst (halt wie in Aufgabenteil a)) aber wozu hast du die 1 und die 0 mit in deine Tupel aufgenommen?
Oder sind das deine Ideale?
Wenn ja, dann sind aber A und B meiner Ansicht nach Körper und keine Ringe mehr weil jeder Körper enthält
2 Ideale.
Das Einheitsideal(1) = R und das
Nullideal(0).

Bitte erklär mir mal kurz deine Schreibweise.
Danke

Mathestudent
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Ähm muss dass selber noch studieren, hab das Beispiel von Wikipedia zitiert, hier der Link http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphis...ghomomorphismus

Sorry du scheinst da schon weiter durchgedrungen zu sein als ich. Gott
 
 
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