Permutationsgruppe

09.05.2005, 19:30	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationsgruppe Hallo, also ich habe hier eine Aufgabe zu Permutationsgruppe Sn={f: M-> M \| f bijektiv} was das neutrale element ist, habe ich jetzt glaube ich schon aus einem anderen thema verstanden. jetzt soll ich aber das inverse element zu: (1 2 3 4 5) (3 1 5 4 2) bestimmen. ich habe aber noch nicht ganz verstanden wie ich so etwas anstelle :-/ wäre nett, wenn mir das vielleicht jemand erklären könnte.
09.05.2005, 20:59	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
In der symmetrischen Gruppe ist -wie du schon rausgefunden hast- die Identität das neutrale Element. Nehmen wir nun an, du hast eine Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ . Das inverse Element verhält sich dazu nun so, dass du nach Hintereinanderausführung eben die Identität erhälst: $\begin{eqnarray} \sigma \circ \sigma^{-1} = id \end{eqnarray}$ Wenn also in deiner Permutation zuerst a auf b abgebildet wurde, dann muss folgerichtig danach b auf a abgebildet werden. Demnach bestimmt man eine inverse Permutation, indem man die Permutation einfach umdreht.
09.05.2005, 21:19	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht stehe ich ja nur aufm schlauch oder ich habs noch nicht ganz gerafft, aber wie drehe ich denn bitte eine permutation um?
10.05.2005, 06:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie man Abbildungen immer umkehrt, denn eine Permutation ist ja eine Abbildung. Zum Beispiel die deine: $\begin{eqnarray} \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ steht für $\begin{eqnarray} \pi(1) = 3 \, , \ \pi(2) = 1 \, , \ \pi(3) = 5 \, , \ \pi(4) = 4 \, , \ \pi(5) = 2 \end{eqnarray}$ Und beim Umkehren einer Abbildung wird aus $\begin{eqnarray} \pi(x) = y \end{eqnarray}$ eben $\begin{eqnarray} \pi^{-1}(y) = x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \pi^{-1}(3) = 1 \, , \ \pi^{-1}(1) = 2 \, , \ \pi^{-1}(5) = 3 \, , \ \pi^{-1}(4) = 4 \, , \ \pi^{-1}(2) = 5 \end{eqnarray}$ Man muß also in der obigen Notation einfach die beiden Zeilen vertauschen, schon hat man die Umkehrpermutation: $\begin{eqnarray} \pi^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder, indem man die Eingaben in natürlicher Weise ordnet, etwas schöner notiert: $\begin{eqnarray} \pi^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
10.05.2005, 08:35	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaaaaaa vielen dank!!! habs jetzt verstanden! den rest kann ich jetzt denk ich mal auch. viele liebe grüße, stardust

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