Polynome unabhängigkeit |
| 09.05.2005, 23:56 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Polynome unabhängigkeit Untersuchen sie die folgende lineare unabhängigkeit der Polynome: p1(x)=1x^3 -3x^2 + 3x^1 +1x^0 p2(x)=x^2 + 2x^1 - 1x^0 p3(x)=2x^2 -5x^1 +1x^0 p4(x)=x^1 + 3x^0 für (a) K = R (b) K = Z3 Meine Lösung: lambda = lam lambda1 + = 0 -3lambda1 + lambda2 + 2lam3 = 0 3lam1 + 2lam2 - 5lam3 + lam4 = 0 lam1 + lam2 + lam3 + 3lam4 = 0 dies nun mit gauss..... 1 0 0 0 -3 1 2 0 3 2 -5 1 1 -1 1 3 dann folgt 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 -5 1 0 -1 1 3 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 -9 1 0 0 3 3 ----> Widerspruch , d.h. die Polynome sind lienear unabhängig nun zu (b) mann muss hier umwandeln wegen Z3 (1,0,0,0) -> (1,0,0,0) (-3,1,2,0) -> (0,1,2,0) ....usw... -> (0,2,-2,1) ->(1,2,1,0) nun wieder gauss anwenden und es müsste eigentlich linear abhängig herauskommen...hier tritt mein problem ein....ich kann es drehen und wenden ich wie ichmöchte, ich bekomme stets linear unabhängig heraus....habe ich a) richtig gerechnet und wie sieht es bei b) aus? MfG |
||||||||
| 10.05.2005, 00:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmmm, zunächst mal solltest du dazusagen, dass du die polynome über K als K-vektorraum ansiehst und das p(x)=0 das nullelement ist. dann kanns losgehen. ganz einsichtig ist mir das nicht, was du da tust, vielleicht liegt das aber auch ande unleseerlichkeit (tip: formeleditor) insbesondere bei den polynomen oben ist es sehr unübersichtlich....
was soll das? und was macht das + da? ist lambda_i jeweils der skalarname vor p_i? wenn ja: rechts von deiner matrix muss noch der ergebnisvektor (0/0/0/0) stehen..... (du suchst ja Ax=0, mit A ist deine matrix)
widerspruch!? ordne deine gedanken... hieraus folgt lambda_3=lambda_4=0.... aber es steht nix im widerspruch zu etwas.... |
||||||||
| 10.05.2005, 11:56 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
eigentlich möchte nur wissen, ob man, wenn man 4 vektoren hat z.B. ob man es so schreiben könnte und dies dann in eine matrix packt und den gauss drauf anwendet???um linear unabhängig oder abhängig zu erhalten... |
||||||||
| 10.05.2005, 12:18 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oh sorry bei der letzteren gleichung müsste das x4 weg, da dies ja zu -1 wird.... |
||||||||
| 10.05.2005, 13:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das hier ist ein LGS mit den unbekannten x1 bis x4 (deine skalare vor den vektoren) und den meistens gegebenen a_i. diese sollten natürlich für jeden der 4 vektoren anders sein! das hast du oben falsch, deine 4 vektoren sind alle identisch! ansonsten kannst du dieses LGS natürlich mit gauß lösen! bekommst du als eindeutige lösung x1=x2=x3=x4=0, dann sind die vektoren linear unabhängig. |
||||||||
| 10.05.2005, 13:33 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
kann man nicht den vierten Vektor auf die nullseite nehmen und für x4= -1 setzen???? so dass die drei anderen vektor sozusagen gleich dem vierten vektor sind??? |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 10.05.2005, 13:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wozu? du hast in deinem falle ein LGS mit 4 unbekannten (x1 bis x4) und 4 gleichungen (für jede komponente). das kannst du lösen! x4=1 wählen ist im allgemeinen falsch! |
||||||||
| 10.05.2005, 13:58 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oki, danke ich würde das genre mal an folgender aufgabe darstellen: so sieht es nach dem Gauss bei mir aus: |
||||||||
| 10.05.2005, 14:00 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
letzte gleichung fällt weg, die hat ja nur 0er. bleiben 4 relevante gleichungen mit 4 unbekannten.... das kannst du mit dem gauß noch weiter vereinfachen (vollständige treppenform) mit geübtem auge erkennst du aber auch hier schon, dass es nur eine lösung geben kann (die triviale), zur not bestimmst du diese durch konsekutives einsetzen. mfg jochen |
||||||||
| 10.05.2005, 14:04 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist nun richtig, dass diese dann linear unabhängig ist??? ich habe aufgaben...nicht wenig, die ich gerne kontrollieren lassen würde, könnte ich sie dir zuschicken LoeD???? sonst müsste ich hier ziemlich lange sitzen.......mit dem formeleditor |
||||||||
| 10.05.2005, 14:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmmm, ja, es gilt: wenn dein LGS nur trivial lösbar ist (alle variablen =0, das ist ja definitiv immer eine lösung), dann sind deine vektoren linear unabhängig. den fall hast du hier. gibt es eine nichttriviale lösung (zusätzlich!, dann gibt es also mindestens einen eindimenionalen lösungsraum), dann sind die vektoren linear abhängig. mfg jochen ps: wenn du nicht alle hier abtippen willst, dann vergleiche lieber mal mti kollegen, oder vertraue mal deinen rechungen ein wenig! du musst doch auch nicht alles ganz korrekt haben! hauptsache, du verstehst das verfahren! |
||||||||
| 10.05.2005, 14:29 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oki, dann werde ich noch ein wichtige aufgabe hier eintippen....wie schon die oberen Vektoren galten sie für K = R nun für K = Zunten3 diese vektoren umgeformt ergeben die matrix zum schluss bekomme ich dann 1 2 1 1 0 0 -2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 heraus? könntet du dass bitte mal nachrechnen??? das wäre dann doch auch linear unabhängig oder? |
||||||||
| 10.05.2005, 14:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmmmm, werde das jetzt nicht nachrechnen, erst mal ein paar ungenauigkeiten klären: Z_3 ist einfach der körper mit den 3 elementen {0,1,2} mit den "üblichen" verknüpfungen in dieser konstellation? also der restklassenkörper über Z bei division durch 3? (2+2=1 usf) ist die letzte spalte immer deine spalte des nullvektors? wenn das alles korrekt interpretiert ist und deine rechnung stimmt, dann sind sie linear unabhängig ja. mfg jochen |
||||||||
| 10.05.2005, 14:51 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm...komisch, somit wären alle meine aufgaben linear unabhängig nun noch eine für den K=Z_5 also wieder die obigen ausgangsvektoren...... nun die ausgangsmatrix 3 4 4 4 0 3 4 4 1 0 0 4 4 0 0 1 0 4 1 0 1* 4 3 1 0 *-3 1und2 zeile *-1 vierte zeile Gauß anwenden 1 4 3 1 0 0 -8 -5 1 0 0 -8 -5 -2 0 0 4 4 0 0 0 -4* 1 0 0 2+3 zeile *-2 und dann die 4 in die 3 zeile 1 4 3 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 -7* 1 0 *-1 die 4 u. * 5/7 die 5 zeile 0 0 -7 -2 0 0 0 5 0 0 ergebnismatrix 1 4 3 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 -7 1 0 0 0 0 -3 0 0 0 0 5/7 0 müsste doch linear unabhängig sein oder habe ich einen rechenfheler drin??? |
||||||||
| 10.05.2005, 14:55 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wieso sollte das auch nicht linear unabhängig sein? so unwahrscheinlich ist das nicht! je größer der unterschied zwischen vektorraumdimension (ergibt bedingungen!) und vektoranzahl (freiheitsgrade!) ist, desto größer ist die wahrscheinlichkeit für lineare unabhängigkeit. ist zum beispiel die vektoranzahl > dimension, so sind die vektoren sofort linear abhängig! (4 vekoren des IR³ sind linear abhängig als beispiel) mfg jochen ps: kann das obige mal wer durch maple oder so jagen!? |
||||||||
| 10.05.2005, 15:00 | Boo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm...oki...hoffe ich habe das alles so richtig gerechnet...... Untersuchen sie die folgende lineare unabhängigkeit der Polynome: p1(x)=1x^3 -3x^2 + 3x^1 +1x^0 p2(x)=x^2 + 2x^1 - 1x^0 p3(x)=2x^2 -5x^1 +1x^0 p4(x)=x^1 + 3x^0 für (a) K = R (b) K = Z_3 Meine Lösung: lambda = lam lambda1 + = 0 -3lambda1 + lambda2 + 2lam3 = 0 3lam1 + 2lam2 - 5lam3 + lam4 = 0 lam1 + lam2 + lam3 + 3lam4 = 0 dies nun mit gauss..... 1 0 0 0 -3 1 2 0 3 2 -5 1 1 -1 1 3 dann folgt 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 -5 1 0 -1 1 3 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 -9 1 0 0 3 3 ----> Widerspruch , d.h. die Polynome sind lienear unabhängig nun zu (b) mann muss hier umwandeln wegen Z3 (1,0,0,0) -> (1,0,0,0) (-3,1,2,0) -> (0,1,2,0) ....usw... -> (0,2,-2,1) ->(1,2,1,0) nun wieder gauss anwenden und es müsste eigentlich linear abhängig herauskommen...hier tritt mein problem ein....ich kann es drehen und wenden ich wie ichmöchte, ich bekomme stets linear unabhängig heraus....habe ich a) richtig gerechnet und wie sieht es bei b) aus? MfG ist doch richtig so oder??? |
||||||||
| 10.05.2005, 15:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn du dich wiederholst kann ich das auch das + verstehe ich immer noch nicht, widerspruch habe ich dir schon mal gesagt, gibts da nicht! edit: aber grundidee, dass dein polynomvektorraum vom grade <=3 isomorph zum spaltenvektorraum mit 4 einträgenist, ist gut, also kannst du deine rechnung so angehen |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
