Dreiecksmatrix

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Assal Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksmatrix
Hallo!

Auch bei der Aufgabe bräuchte ich mal eure Hilfe Hilfe

Zeigen Sie, dass es für einen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes genau dann eine Matrixdarstellung durch eine obere Dreiecksmatrix gibt, wenn es (bzgl. einer anderen Basis) eine Matrixdarstellung durch eine untere Dreiecksmatrix gibt.

f: V -> V, dim V = n

????
phi Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Skript ist Endomorphismus als eine lineare Abbildung von V in sich selbst definiert. (Ein Automorphismus wäre also ein umkehrbarer Endomorphismus). Schau also am Besten eure Definition nach.

Stell dir einfach folgende Matrix vor und vertausche mal die 1. und 3. Zeile:



Einfaches Beispiel für Automorphismus: f(x)=x, also die Identität.

Edit: Oops! Danke Arthur. Grüß mal Zaphod Beeblebrox.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Stell dir einfach folgende Matrix vor und vertausche mal die 1. und 3. Zeile

... und anschließend auch die 1. und 3.Spalte. Augenzwinkern
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen...

Die Verbindung zwischen der oberen und unteren Dreiecksmatrix ist doch, dass die untere die transponierte von der oberen ist, oder bin ich da aufm falschen Weg?

Hab mir nun überlegt, dass man die Aufgabe vielleicht mit der Dimension der beiden Matrixen beweisen könnte, da die ja gleich sind.

Für die, die das Übungsblatt bearbeiten: siehe Satz 9.

Oder ne andere Idee????
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Tip: Permutationsmatrizen!

Die Matrix, nennen wir sie mal A, hat bzgl. einer Basis eine Darstellung als untere Dreicksmatrix, dann gibt es Transformationsmatrizen, nämlich Permutationsmatrizen mit B = PAP. Dies entspricht dann einer Basistransformation und B ist obere Dreicksmatrix.
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, kannst du mir das vielleicht etwas näher erläutern.
Meinst du, dass man wenn man eine untere Dreiecksmatrix hat durch die Berechnung B = PAP die obere Dreiecksmatrix erhält?
Sorry, hab kein Plan von Permutationsmatrizen.
 
 
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Permutationsmatrix erhält man, indem man sich die Einheitsmatrix nimmt und die Zeilen x und y vertauscht. Wir nennen eine solche Matrix mal P. Multipliziert man P von links an eine Matrix A, so bewirkt dies eine Vertauschung der x-ten und y-ten Zeile von A. Multiplikation von rechts bewirkt eine Vertauschung der x-ten und y-ten Spalte von A.
(Das gehört eigentlich zum Thema "Lineare Gleichungssysteme", vielleicht nochmal nachschlagen.)

Ist nun eine untere Dreiecksmatrix gegeben, so definiert man sich die Permutationsmatrizen wie folgt:
vertauscht 1. und n-te Zeile \ Spalte
vertauscht 2. und (n-1)-te Zeile \ Spalte
usw bis m = n/2 falls n gerade, bzw (n-1)/2 falls n ungerade.

Dann ist

Beispiel:

Dann ist
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!!!

O.k. das hab ich verstanden.
War scheinbar auf dem völlig falschen Weg, da ich die ganze Zeit von der oberen Matrix ausgegangen bin und diese transponieren wollte um die untere zu erhalten. Was ja totaler Schwachsinn ist.
Wenn ich also eine unter Matrix habe, erhalte ich durch "Multiplikation" mit der entsprechnden Permutationsmatrix die zugehörige obere Matrix.
Entsprechend gibt es für einen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraumes genau dann eine Matrixdarstellung durch eine obere, wenn ich eine untere Dreiecksmatrix habe.

Wenn ich das ins Allgemeine überführe, habe ich doch die Aufgabenstellung schon erfüllt oder fehlt noch was???

Nochmal ein großes DANKE!!!
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke schon.
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. dann versuch ich es auf diesem Weg.
Danke
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