Isomorph

10.05.2005, 16:11

Logan

Isomorph

Hallo,
ich hätte da mal eine Frage:

Was genau muss ich machen, wenn ich zeigen soll, dass etwas isomorph ist.

Ich soll dies hier zeigen:
U, V, W sind Vektorräume
f: U ---> V und g: V ---> W sind lineare Abbildungen.

Das Bild(gf) ist isomorph zu Bild(f)/(Bild(f) geschnitten Kern(g))
Aber wie kann ich das beweisen.

Hat jemand Ahnung davon, Danke!

10.05.2005, 16:20

JochenX

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Zitat:

Was genau muss ich machen, wenn ich zeigen soll, dass etwas isomorph ist.

zeige dass ein isomorphismus existiert

zeige dazu:
existiert eine bijektive abbildung, die homomorph ist

denke dir dazu eine abbildung und beweise die nötigen eigenschaften

10.05.2005, 18:22

MisterMagister

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Da hilft wohl der Homomorphiesatz für Vektorräume weiter, denn
$\begin{eqnarray*} Bild~f = f(U) \subseteq V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Bild(g \circ f) = (g \circ f)(U) = (\tilde g \circ f)(U) \subseteq W \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \tilde g:f(U)\longrightarrow W \end{eqnarray*}$
Dabei gilt:
$\begin{eqnarray*} Kern~\tilde g \subset f(U) \Rightarrow Kern(\tilde g) = Bild~f \cap Kern~g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Bild~\tilde g = Bild(g \circ f) \end{eqnarray*}$
Also ist mit dem Homomorphiesatz:
$\begin{eqnarray*} \wp:f(U)/Kern~\tilde g \longrightarrow \tilde g(f(U))= (g \circ f)(U) \end{eqnarray*}$
ein Isomorphismus.

Anmerkung:
g-schlange ist die Restriktion von g auf f(U). Das solltest du vielleicht noch nachschlagen, wenn dir das kein Begriff ist.

11.05.2005, 21:36

Logan

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Haool nochmal
so ganz werde ich aus diesem Isomorphiesatz nicht schlau.
Ist damit die Aufgabe schon bewiesen oder muß ich noch etwas machen, was ich nicht sehe???
Wäre nett, falls mir das noch mal jemand erklären könnte.
Danke

16.05.2005, 19:44

MisterMagister

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Du hast zwei Vektorräume gegeben, nämlich
$\begin{eqnarray*} Bild(g \circ f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Bild~f/(Bild~f \cap Kern~g) \end{eqnarray*}$ und du sollst zeigen, dass diese beiden Räume isomorph sind.
Wie LOED gesagt hat, musst du zeigen, dass ein Isomorphismus zwischen diesen Räumen existiert. Das ist ein bijektiver Homomorphismus.

Allgemein heißt das:
Seien U,V Vektorräume. U, V sind isomorph genau dann wenn es einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \wp:U \longrightarrow V \end{eqnarray*}$ gibt.

Der Homomorphiesatz besagt:
Sei $\begin{eqnarray*} f:V \longrightarrow W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, dann ist
$\begin{eqnarray*} \wp:V/Kern~f \longrightarrow f(V) \end{eqnarray*}$
ein Isomorphismus.

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} Bild~f/(Bild~f \cap Kern~g) = f(U)/Kern~\tilde g \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Bild(g \circ f) = (g \circ f)(U) = (\tilde g \circ f)(U) = \tilde g(f(U)) \end{eqnarray*}$
Wenn man V = f(U) setzt sieht man dass der Homomorphiesatz anwendbar ist, $\begin{eqnarray*} \wp \end{eqnarray*}$ ist ein Isomorphismus und damit sind deine Räume isomorph.

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