Kongruenzen, Gruppen, ..

10.05.2005, 16:57

Tinje

Kongruenzen, Gruppen, ..

Ich sitz grad an meiner Übungsserie und ich kann auch ein paar Aufgaben ganz gut lösen, aber ein paar andere nur teilweise bzw gar nicht. Hier die Aufgaben:

1) Man bestimme die Strukturtafel von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 9 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Weiterhin gebe man zu dieser Gruppe alle möglichen Untergruppen an. Ausserdem konstruiere man eine abelsche bGruppe mit 9 Elementen, die nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 9 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ isomorph ist.

Hier kann ich alles bis auf den letzten Teil , wo man die albelssche Gruppe konstruieren soll die nicht isomorph ist.

(2) Begrunden sie das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 11\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Körper ist.
Begründen sie das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 16 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nur ein Ring ist.
Bestimmen sie die Nullteiler von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 16 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ !

Ich weiß zwar was ein Ring und was ein Körper ist aber ich komme hier nicht weiter weil ich denkedas ich doch dazu die operatoren brauche, oder?

(3) Man bestimme die kleinsten fünfstelligen zahlen $\begin{eqnarray*} x, y, z \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit der eigenschaft
(a) $\begin{eqnarray*} 312x \equiv 123 (213) \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} 234y - 324z = 432 \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich nicht wie ich anfangen bzw was ich überhaupt machen soll

(4) Man formuliere und beweise die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 7,9,11 und 13 in den Skalen
$\begin{eqnarray*} g = 10, g = 12 und g = 16 \end{eqnarray*}$

Auch hier verstehe ich nur Bahnhof :-(

Ich w+rde mich sehr über Hilfe freuen, damit ich vielleicht weiter komme.

Tinje

10.05.2005, 17:09

Leopold

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Zu a)

Ist dir die direkte Summe ein Begriff? Falls ja, dann bilde $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ).

11.05.2005, 10:12

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Zu (3): Du musst doch wenigstens ein paar Kenntnisse über das Lösen linearer Kongruenzgleichungen
$\begin{eqnarray*} ax\equiv b\mod m \end{eqnarray*}$ (*)
haben, oder? Diese Gleichung besitzt genau dann Lösungen, wenn $\begin{eqnarray*} ggT(a,m) \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} ggT(b,m) \end{eqnarray*}$ ist. In letzterem Fall setzt man dann $\begin{eqnarray*} a=ga' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=gb' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=gm' \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} g=ggT(a,m) \end{eqnarray*}$ ist. Dann hat die Kongruenzgleichung (*) dieselben Lösungen wie
$\begin{eqnarray*} a'x\equiv b'\mod m' \end{eqnarray*}$ (**)
wobei hier jetzt allerdings a' und m' teilerfremd sind, und somit a' eine Inverse modulo m' besitzt, mit der sich dann auch die eindeutige Lösung modulo m' darstellen lässt:
$\begin{eqnarray*} x\equiv (a')^{-1}b'\mod m' \end{eqnarray*}$
Und wenn du erstmal die Restklassenlösung hast, ist es nicht schwer, daraus dann die kleinste fünfstellige ganzzahlige Lösung abzuleiten.

P.S.: Bei (4) bist du uns noch die Information schuldig, welche Teilbarkeitsregeln bewiesen werden sollen. Oder soll man passende Regeln selbst aufstellen? Und mit "Skale" g meinst du dabei vermutlich Zahlensysteme zur Basis g. Ich finde den Begriff "Skale" da übrigens ziemlich daneben, aber das ist sicher nicht deine Schuld.

11.05.2005, 11:12

MisterMagister

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zu (2)

Bieten sich denn noch andere Operatoren außer der Addition und der Multiplikation an?

@ Leopold

Wie geht denn sowas? Die direkte Summe ist mir nur für Vektorräume ein Begriff und da hatten wir definiert, dass die Summe dann dirket ist, wenn der Schnitt der entsprechenden Mengen leer ist.

11.05.2005, 11:23

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Zitat:

Original von MisterMagister
zu (2)

Bieten sich denn noch andere Operatoren außer der Addition und der Multiplikation an?

Wenn von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 16 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die Rede ist, dann sind die Operationen Addition und Multiplikation festgelegt. Das nur für den Fall, dass du auf den Körper GF[16] anspielen willst. Augenzwinkern

11.05.2005, 12:10

MisterMagister

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Nee, das war eigentlich 'ne rhetorische Frage.

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