Gleichmäßige Stetigkeit

10.05.2005, 19:00	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit Also gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,f(x):=e^{1-x^2} \end{eqnarray}$ Nun soll ich diese Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit untersuchen. Gehe ich da normal mit der Definiton der epsilon delta oder besser mit der lipschitz stetig ran? Das ist ein rotes Tuch für mich sorry andy
10.05.2005, 19:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst bei solchen Sachen einfach mal n bißchen ausprobieren ... Ich würde es so machen: Zeige, dass die Ableitung beschränkt ist und zeige, dass eine Funktion mit beschränkter Ableitung auf einem Intervall Lipschitz-stetig ist. Fertig.
10.05.2005, 20:35	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm Die Ableitung ist $\begin{eqnarray} -2xe^{1-x^2} \end{eqnarray*}$ gut dsa sollte nicht die Schwierigkeit sien Muss ich mir jetzt ein intervall suchen? Auf Monotonie untersuchen? komme im Moment nicht drauf mit der Beschränktheit
10.05.2005, 20:47	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
heißt es in der Aufgabe nicht so,dass man die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach gleichmäßiger Stetigkeit untersuchen soll? Allgemein gilt doch: Auf unbeschränkten Intervallen ist f nicht Lipschitz stetig.
10.05.2005, 21:01	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne so ist die Aufgabenstellung wie ich sie oben geschrieben habe Stetigkeit kann ich nichts mit anfangen hmm könnte einer mla einen ansatz liefern?
10.05.2005, 21:13	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist offensichtlich differenzierbar, da bietet sich der Mittelwertsatz an. Es existiert ein $\begin{eqnarray} \xi \in [x, x_0] \end{eqnarray}$ für das gilt: $\begin{eqnarray} f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(\xi) \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} x-x_0 \end{eqnarray}$ lässt sich betragsmäßig gegen $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ abschätzen und der Rest im Falle gleichmäßiger Stetigkeit gegen eine Konstante.
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10.05.2005, 22:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@n! Auch $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist ja ein Intervall, zwar ein unendliches, aber ein Intervall (nämlich $\begin{eqnarray} \mathbb R=(-\infty, +\infty) \end{eqnarray}$ ). Und wenn die Ableitung auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ beschränkt ist, dann ist auch die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Lipschitz-stetig! @Trazom Genau mit dem Mittelwertsatz kann man ja herleiten, dass eine beliebige Funktion mit beschränkter Ableitung Lipschitz-stetig ist. Und daraus folgt ja dann die glm. Stetigkeit. Man kann also eine allgemeinere Aussage als die glm. Stetigkeit herleiten.
11.05.2005, 06:53	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
@MSS hast recht.Aber wenn man die Ableitung mal so ansieht,dann dürfte dies nicht der Fall sein oder? Vielleicht wäre es besser direkt mit der epsilon-delta Methode zu arbeiten.Denn solllte ein Widerspruch bei der Lipschitz Stetigkeit rauskommen,dann heißt das ja nicht unbedingt,dass die Funktion auch nicht gleichmäßig stetig ist
11.05.2005, 16:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@n!
11.05.2005, 20:51	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
@MSS arg,hab es falsch in den Plotter eingegeben.Bei mir kam da eine monotone Funktion raus. Irgendwelche Fortschritte Andy?

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