Kombinatorik oder sowas... brauch hilfe :(

Neue Frage »

10.05.2005, 19:41	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik oder sowas... brauch hilfe :( hi ihr! also die aufgabe lautet: Welche der Zahlen ist größer: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ n über k ...oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ ? hab das jetzt mal umgebaut: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{n^kk!(n-k)!} \end{eqnarray}$ < $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ bin ich da auf dem richtigen weg? wenn ja: wie kann ich da weitermachen? danke schonmal im voraus das_linchen
10.05.2005, 20:20	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist auf jeden Fall schon mal ein Anfang... Also gut, mal ein paar Tipps: Erst mal kannst du beide Seiten mit k! multiplizieren. Und dann schau dir mal an, ob du n! noch irgendwie anders schreiben kannst. Am idealsten wäre für dich irgendwas in der Form (n-k)! * x, weil du dann kürzen kannst. Musst halt schauen, was für ein x das sein könnte... Schließlich solltest du dir noch überlegen, ob n oder k größer ist. Wenn du das alles hast ist die Aufgabe eigentlich schon fast fertig...
10.05.2005, 20:48	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
so bin dann jetzt quasi bei: $\begin{eqnarray} \frac{n!k!}{n^kk!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ < 1 kann ich jetzt k! kürzen? (also k € {1,......n} und n € IN) als Hinweis steht, dass man die binomische Formel bzw- die geometrische Summenformel (whooos?) benutzen soll.... danke schonmal fürs offene ohr das_linchen
10.05.2005, 20:55	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, k! kannst du hier erst mal rauskürzen. Das war dann der erste Schritt. Der zweite ist dann eben der, dass du dir n! genauer anschauen solltest, wie man das noch schreiben könnte... Oder, ums etwas verständlicher auszudrücken: Schau dir mal den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray}$ etwas genauer an. Überleg dir, was von n! noch übrigbleiben würde, wenn du (n-k)! rauskürzen würdest. Vor allem die Überlegen, wie viele Faktoren das dann sind und wie groß diese wären ist interessant... Was diesen Hinweis angeht: Vielleicht gings damit schneller, vielleicht auch eleganter, aber es geht auch ohne das Zeug... PS: Der Befehl für nen anständigen Malpunkt heißt übrigens \cdot
10.05.2005, 21:20	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh also kann ich aus dem $\begin{eqnarray} (n-k)! \end{eqnarray}$ im nenner $\begin{eqnarray} n! \cdot (n-k) \end{eqnarray}$ machen?! und wenn ich dann $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ kürze, hätte ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^k\cdot(n-k)} \end{eqnarray}$ ... falls ich jetz nich ganz aufm holzweg bin, wäre das doch der beweis (weil ja n und k € IN), dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^k\cdot(n-k)} \end{eqnarray}$ < 1 ist?! oda hab ich schon wieder was vergessen? lg das_linchen
10.05.2005, 21:28	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, ne, kannst du nicht ganz... Weißt du, wie die Fakultät definiert ist? Für alle Fälle hab ichs dir hier noch mal hingeschrieben: $\begin{eqnarray} n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \prod_{i=1}^ni \end{eqnarray}$
Anzeige

10.05.2005, 21:31	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben nach Algebra Gruß, therisen
10.05.2005, 21:57	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry jetzt steh ich grad komplett aufm schlauch
10.05.2005, 22:12	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gut, noch einen Schritt weiter... Klar ist, dass $\begin{eqnarray} n \geq k \end{eqnarray}$ gilt, ansonsten wäre die ganze Aufgabe unsinnig. Die Fakultät ist ja allgemein definiert wie ich das oben erklärt hab. Also kannst du in diesem Fall zusätzlich noch das k mit reinbringen, dann hast du am Ende $\begin{eqnarray} n! = n\cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot \underbrace{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}_{= (n-k)!} \end{eqnarray}$ Gut, um das so hinschreiben zu können hab ich jetzt vorausgesetzt, dass k n gutes Stück kleiner als n ist, theoretisch könnte es jedoch auch genauso groß wie n sein, aber das war jetzt nur zur Vorstellung. Fakt ist auf jeden Fall, dass n! sozusagen (n-k)! und darüber hinaus noch einige weitere Faktoren enthält, nämlich $\begin{eqnarray} n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \end{eqnarray}$ Wenn du dir klarmachst, dass du den letzten Faktor logischerweise auch als (n-(k-1)) schreiben kannst, kannst du das ganze wiederum mit dem Produktzeichen formulieren und hast dann $\begin{eqnarray} \prod_{i=0}^{k-1}(n-i) \end{eqnarray}$ Sprich du musst dann am Ende nur noch folgenden Ausdruck untersuchen: $\begin{eqnarray} \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{n^k}<1 \end{eqnarray}$ Wenn du dir jetzt aber überlegst wie viele Faktoren das obere Produkt hat und wie groß die jeweils sind sollte das denke ich kein Problem mehr darstellen...
10.05.2005, 22:22	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
wow, ich bin begeistert... ich glaub ich habs sogar geschnallt... g ist mir jetzt mit deiner erklärung auch soweit klar, dasses so sein muss, aber wie verpack ich $\begin{eqnarray} \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{n^k}<1 \end{eqnarray}$ jetz so, dass das auch andre kapieren (bzw. wie formulier ich den beweis?)
10.05.2005, 22:38	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erst mal ist mir grad aufgefallen, dass es nicht kleiner sondern kleiner gleich heißen muss, es sei denn in der Angabe ist von k > 1 die Rede. Ansonsten würd ich für den Beweis als erst mal den Fall k = 0 vornewegnehmen, da zeigen dass es das Gleiche ist und von da an k > 0 voraussetzen, sonst kriegst Probleme... Dann machst eben nach und nach die ganzen Umformungen. Zuerst eben auf beiden Seiten mit k! multiplizieren. Dann ersetzt du n! durch $\begin{eqnarray} \prod_{i=0}^{k-1}(n-i) \cdot (n-k)! \end{eqnarray}$ und kürzt dann (n-k)! Eventuell solltest du da vorher noch eine Zeile mit einfügen, wie du darauf gekommen bist, nachdem das ja nicht ganz trivial ist. Dann musst am Ende nur noch ein, zwei Sätze hinschreiben, warum dieser Bruch jetzt auf jeden Fall kleiner oder gleich 1 ist, was ja eigentlich nicht weiter schwer zu erklären ist.
10.05.2005, 23:01	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
da würde z.b. reichen, wenn ich schreib, dass $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert weil ich ja am anfang gesaacht hab dat k>0 is
10.05.2005, 23:04	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht, vorsicht... Du hast hier keinen Grenzwert, also konvergiert da schon mal gar nix... Nene, du musst dir die einzelnen Faktoren im Zähler und im Nenner anschauen und die miteinander vergleichen.
10.05.2005, 23:10	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
schedimmt dann reichts ja als begründung wenn ich sag dass $\begin{eqnarray} n \cdot (n-1) ... * (n-(k-1)) < \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray*}$
10.05.2005, 23:14	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Du musst nur noch hinzufügen, dass dieses Produkt oben genau k Faktoren hat (und damit genauso viele wie unten). Und nachdem jeder einzelne von denen kleiner oder gleich n ist ist der ganze Bruch kleiner gleich 1.
10.05.2005, 23:25	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
yeha! ich habs kaaaapiiiiert : vielen dank hättest du vielleicht lust und zeit, mir bei einer zweiten aufgabe zu helfen? (da steh ich ja wieder aufm schlauch) seltsame mathematik...
10.05.2005, 23:33	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Lust immer, Zeit momentan auch noch... Kommt halt auf die Aufgabe an...
10.05.2005, 23:40	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ist ja toll g also vielleicht hab ich ja heut nacht nochne erleuchtung.... die aufgabe lautet "gilt $\begin{eqnarray} (1+ \frac{1}{n})^n < 3 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ? da hab ich gar keinen plan wie ich den ersten teil mit dem hoch n umschreiben kann ?!?!
10.05.2005, 23:59	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also anfangen kannst du hier auf jeden Fall mal mit dem binomischen Satz. Den müsstet ihr garantiert vor kurzem gemacht haben, also einfach mal in den Unterlagen blättern... Klasse wäre dann natürlich noch, wenn ihr schon wisst, was der Wert von $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i!} \end{eqnarray}$ ist, dann ist das auf jeden Fall machbar... Auch wenn man von selber wohl eher schwer draufkommt...
11.05.2005, 00:07	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ne haben das thema in der schule leider komplett ausgelassen, bin mir das alles im moment so halbwegs auf eigene faust am aneignen... also der binomische satz sagt mir zu der aufgabe insofern was, als dass ich von $\begin{eqnarray} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \cdot \end{eqnarray}$ (n über k) $\begin{eqnarray} a^{n-k} \cdot b^k \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n} )^n = \sum_{k=0}^n \cdot \end{eqnarray}$ (n über k) $\begin{eqnarray} 1^{n-k} \cdot n^k \end{eqnarray}$ komme...
11.05.2005, 00:13	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... Also ich denk schon, dass ihr $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i!} = e \end{eqnarray}$ verwenden dürft, sonst wär die ganze Aufgabe nämlich gut aufwendig... Wenn ihr das verwenden dürft ist das kein Problem, dann musst du das, was du jetzt hast, nur mal mit der ersten Aufgabe vergleichen, noch eine kleine Umformung machen und bist fertig. Wenn nicht wirds komplizierter...
11.05.2005, 00:21	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
sagen wir mal ich darfs dann hol ich also $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i!} = e \end{eqnarray}$ als ausgangsgleichung... dann hab ich ja noch meine $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n} )^n = \sum_{k=0}^n \cdot (n über k) 1^{n-k} \cdot n^k \end{eqnarray}$ nur wie ich da weitermach is mir rätselhaft...?! so vielleicht $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot n^k < 3 \end{eqnarray}$ ??
11.05.2005, 00:22	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
sagen wir mal ich darfs dann hol ich also $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i!} = e \end{eqnarray}$ als ausgangsgleichung... dann hab ich ja noch meine $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n} )^n = \sum_{k=0}^n \cdot \end{eqnarray}$ (n über k) $\begin{eqnarray} 1^{n-k} \cdot n^k \end{eqnarray}$ nur wie ich da weitermach is mir rätselhaft...?! so vielleicht $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot n^k < 3 \end{eqnarray}$ ??
11.05.2005, 00:23	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht als Ausgangsgleichung... Schau dir das an, was hinter deiner Summe steht, und vergleich das mal mit den Sachen aus der ersten Aufgabe. Und dann versuch mal die Summe irgendwie abzuschätzen...
11.05.2005, 00:33	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \cdot \end{eqnarray}$ (n über k) $\begin{eqnarray} 1^{n-k} \cdot n^k \end{eqnarray}$ wenn ich das jetz quasi mit dem $\begin{eqnarray} \frac{n!}{n^k \cdot (n-k)!} \end{eqnarray}$ vergleich, dann seh ich zwar, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot n^k < 3 \end{eqnarray}$ stimmt... aba wie kann ichs beweisen? (argh... ich hasse beweise )
11.05.2005, 00:38	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... Ich glaub, du hast dich von mir irgendwie verwirren lassen... Schau dir mal an, welche zwei Sachen du in der ersten Aufgabe miteinander vergleichen solltest. Und dann schau, ob du irgendwelche dieser Sachen in der jetzigen Aufgabe wiederfindest...
11.05.2005, 00:46	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du jetzt am ende der 1. aufgabe?
11.05.2005, 00:47	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, ganz am Anfang...
11.05.2005, 00:52	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry wennsch nerv... also hab am anfang $\begin{eqnarray} \frac{n!}{n^k \cdot k! \cdot (n-k)!} \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ verglichen... aber irgendwie findsch da den zusammenhang nüsch
11.05.2005, 00:55	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, am Anfang hattest du $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}n^k \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ Hinter deiner Summe steht $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}n^k \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} 1^{n-k} = 1 \end{eqnarray}$ ), also womit wird sich diese Summe dann wohl abschätzen lassen?
11.05.2005, 01:12	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
also komm ich im endeffekt auf $\begin{eqnarray} \frac{n! \cdot n^k}{k! \cdot (n-k)!} \leq \ 3 \end{eqnarray}$ ?
11.05.2005, 01:19	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz im Endeffekt schon... Ich schreibs dir jetzt einfach mal hin... Nach der ersten Aufgabe (und da $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}n^k > 0 \forall n,k > 0, n\geq k \end{eqnarray}$ ) gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{k}n^k \leq \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} > 1 \forall k \end{eqnarray}$ gilt weiterhin $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{k!} \leq \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e \end{eqnarray}$ e ist bekanntlich kleiner als 3, womit die Aufgabe gezeigt wäre.
11.05.2005, 01:24	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
was sagt mir das umgedrehte A da blödfrag
11.05.2005, 01:54	Linchen	Auf diesen Beitrag antworten »
whatever das find ich noch raus ! vielen, vielen dank für deine hilfe
11.05.2005, 18:00	Crotaphytus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups... schäm Das umgedrehte A ist ein sogenannter Quantor und heißt einfach nur "für alle". Ist an der Stelle wohl sogar etwas unschön, aber praktisch für faule Menschen wie mich...

Neue Frage »

Antworten »

Kombinatorik oder sowas... brauch hilfe :(

Verwandte Themen