Schnittwinkel Gerade/Ebene

Neue Frage »

SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel Gerade/Ebene
Hallo,

es geht um die Aufgabe wie ich sie unten als Bild angehängt habe.

Ich habe die Aufgabe eigentlich auch schon gelöst und für alles Ergebnisse raus, jedoch noch eine Frage.

Erstmal zu meiner Vorgehensweise und den Ergebnissen, die hoffentlich richtig sind *g*:

In Aufgabe a) soll der Winkel zw. Antenne und Dachfläche berechnet werden.

Ich habe also mein Koordinatensystem so gelegt wie im Bild ersichtlich ist und dann für die Gerade der Antenne zwei Punkte A (0/0/0) und B (0/0/8) und daraus ergibt sich der Richtungsvektor von und somit für den Betrag des Richtungsvektor dann ) bzw. 8.

Die Ebene habe ich so:



Daraus ergibt sich dann der Normalenvektor der Ebene durch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:

Und der Betrag ist

Dann habe ich über's Skalarprodukt für Gamma 56,3° rausbekommen.

Bei der Aufgabe b) sollte dann erstmal der Winkel zwischen der Antenne und dem Stahlstab ausgerechnet werden.

Die Gleichung für den Richtungsvektor der Geraden der Antenne habe ich ja schon in a) aufgestellt und der für den Stab ist , wenn der Stab durch C (0/-3/2) und D (0/0/8) geht.

Der Betrag des Richtungsvektors des Stabs ist dann .

Dann wieder über's Skalarprodukt ausgerechnet und dort habe ich vorher eigentlich immer den Sinus Gamma ausgerechnet, das wäre hier dann für Gamma 63,46°. Aber das kommt ja nicht wirklich hin...hier brauche ich dann also den Alpha, also Cosinus Alpha und dann bekomme ich 26,57° die schon eher hinkommen. *g*

Nun meine Frage, kann ich irgendwie vorher sehen, wann ich Sinus Gamma und wann Cosinus Alpha beim Skalarprodukt nehmen muss? Hier geht es natürlich aus der Zeichnung vor, welcher Winkel von den beiden richtig ist, da sie sehr unterschiedlich sind, aber was mache ich wenn ich z.B. für Sinus Gamma mal 46° und für Cosinus Alpha 44° rausbekomme und nun entscheiden soll, welcher der Richtige ist? Denn das kann man dann auch bei einer Zeichnung nicht mehr "logisch" sehen oder sich denken.


Für den Stahlstab und die Dachfläche bzw. Ebene habe ich für Gamma übrigens 82,87° erhalten.


Vielen Dank im Voraus!
Marco_the_Chief Auf diesen Beitrag antworten »

wie lauten denn Deine Gleichungen für cos alpha bzw sin gamma?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

gerechnet hast du richtig,
aber ein bißchen mit kanonen auf spatzen geschossen
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...ja gut ok. *g*

Dann stellt sich mir aber noch die Frage, weshalb ich für den Winkel zwischen dem Stahlstab und der Dachfläche nur 82,87° raus habe und keine 97,13°.

Also für der Richtungsvektor für meinen Stahlstab ist und für die Ebene habe ich wie gesagt den . Und mit den Werten kommt dann für Gamma jedoch 82,87° raus?

- - - -

Nochmal zu meiner Frage:

Zitat:
Original von SkYfiGhTeR
Nun meine Frage, kann ich irgendwie vorher sehen, wann ich Sinus Gamma und wann Cosinus Alpha beim Skalarprodukt nehmen muss? Hier geht es natürlich aus der Zeichnung vor, welcher Winkel von den beiden richtig ist, da sie sehr unterschiedlich sind, aber was mache ich wenn ich z.B. für Sinus Gamma mal 46° und für Cosinus Alpha 44° rausbekomme und nun entscheiden soll, welcher der Richtige ist? Denn das kann man dann auch bei einer Zeichnung nicht mehr "logisch" sehen oder sich denken.


Das war ja unter anderem bei der Aufgabe b) die Sache...ich hatte meinen Richtungsvektor des Stabs und den der Antenne und dann habe ich eben wie meistens erstmal den Sinus Gamma ausgerechnet von 63,44°, der jedoch dann hier nicht zutrifft. Ich brauche nämlich den Cosinus Alpha bzw. also Alpha, der dann 26,57° ist bzw. eben 90°-Gamma.

Nur kann ich jetzt vorher irgendwie wissen, ob ich den (Sinus) Alpha oder den (Cosinus) Gamma brauche? Also z.B. jetzt ohne eine solch eindeutige Aufgabe/Zeichnung, wenn z.B. die beiden Winkel Alpha und Gamma 44° und 46° sind, kann ich ja nicht mehr "sehen" welcher es nun sein muss aufgrund der Skizze. Woher weiß ich das dann, welcher es sein muss?


Vielen Dank!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich hast dir deine frage eh selbst beantwortet:
82,87 + 97,13 = 180
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hm...vielleicht bin ich grade etwas verwirrt..nur du hast in der von dir angehängten Skizza ja genau die drei Winkel die in Aufgabe a) und b) gefragt waren ausgerechnet, die geben in der Summe die 180°.

Ich habe die gleichen drei Winkel ausgerechnet und bekomme in der Summe aber nur 56,31°+26,57°+82,87°=165,75°.
Hm, und das versteh' ich gerade nicht ganz...ich hab ja die gleichen drei Winkel ausgerechnet und da es ja ein Dreieck ist, muss ich doch auch auf die 180° kommen mit meinen Winkeln.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

siehe oben, du hast ganz einfach den komplementärwinkel berechnet, das hängt sozusagen mit der freiheit der wahl des richtungs-, bzw. normalenvektors zusammen,
wenn du statt
als richtungsvektor genommen hättest, wäre der winkel 97,13 = 180 - 82,87 herausgekommen
so ist das leben
(darum skizze und oder kontrolle, wenn möglich, hier eben die winkelsumme im dreieck)
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mh...achso ok. dann schreibe ich dann hier wohl auch besser die 180°-82,87"=97,13° oder eben direkt mit .

Also brauche ich dann eigentlich schon immer eine Skizze oder eben 'ne vorgegebene Zeichnung oder ich muss wissen um was es sich handelt (Dreieck, Rechteck, Parallelogramm, etc.) um dann sehen zu können, welchen Winkel ich nun angebe/hinschreibe. Natürlich sind dann ja im Prinzip beide richtig, aber hier ist es ja dann logischer den 97,13° zu nehmen, eben aufgrund der Winkelsumme im Dreieck.


Dankeschön! Augenzwinkern
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es geht jetzt zwar nicht mehr um den Schnittwinkel zw. Gerade/Ebene, aber doch um etwas Ähnliches und daher wollte ich nun nicht einen neues Thema erstellen.

Und zwar geht es um den Schnittwinkel zwischen Ebene/Ebene und Koordinatenachse/Ebenenschar.

Gegeben ist die Ebenenschar mit .

Nun soll gezeigt werden, dass sich die Ebenen und der gegebenen Schar schneiden. Ebenenso soll die Schnittgerade g und der Schnittwinkel Gamma bestimmt werden.


Also den Schnittwinkel Gamma kann ich ja eigentlich direkt bestimmten, indem ich einfach den entsprechenden Normalenvektor von und nehme und mit dem Skalarprodukt ausrechne und da komme ich auf 39,23°.

Ist damit nun automatisch gezeigt, dass sich die beiden Ebenen schneiden oder wie kann ich das im Voraus noch zeigen, dass die beiden Ebenen sich allgemein schneiden?

Wie ich die Schnittgerade g bekommen kann, weiß ich im Prinzip auch schon. Ich müsste dann z.B. die Normalenform der in die Paramterform umwandeln und dann diese in die Normalenform von einsetzen, einen Parameter ausrechnen und den in die Paramterform von einsetzen und dann erhalte ich die Schnittgerade g.

Nun kurz meine Frage, wie genau wandle ich schnell die Nomralenform in die Paramterform um?

Kann ich hier für die beiden Richtungsvektoren eben die beiden nehmen, die ich in den Normalenform habe? Wenn ja, was nehme ich dann als Stützvektor/Aufpunkt ?


Vielen Dank im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn die beiden normalvektoren nicht (anti)parallel sind, hast du damit gezeigt, dass sich die ebenen schneiden,
der weg zur schnittgeraden stimmt.

weg 1: du bestimmst 3 beliebige punkte, hier besonders leicht A(-1/0/0), B(0/1/0) und C(0/0/-1) und konstruierst daraus die parameterform
weg 2: z = t, y = s => x = -1 + s - t

werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ok, dankeschön.

Also für den Schnittwinkel Gamma habe ich wie gesagt 39,23° raus, ist das korrekt? Und damit wäre dann ja auch gesagt, dass sich die Ebenen schneiden, da die Normalenvektoren ja nicht parallel sind.

Für die Schnittgerade habe ich nun Folgendes:



Hab ich mich da auch niergends verrechnet? *g*


Dankeschön.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

mit E0 von oben und E1: x - 2z - 1 = 0
bekomme ich

die liegt in beiden ebenen, was deine gleichung nicht zu tun scheint
aber bitte prüfe es nach
werner

der schnittwinkel stimmt
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich bin nach meiner beschriebenen Art vorgegangen:



Die Parameterform der in die Normalenform der eingestzt.

Da erhalte ich dann:

Dann in einsetzen:





und dann eben noch zusammenzählen...



Hm...und wo habe ich da nun noch einen Rechenfehler, den ich wohl anscheinend gerade nicht sehe..? *g*

Dein Ergebnis scheint jedoch logischer...nur komisch, dass ich nicht auf ein identisches Ergebnis komme.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir mal E1 angeben
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja, also:



und



Ja und die Parameterform von habe ich dann eben wie gesagt in die eingesetzt und für t=s-2 erhalten und das wieder in die Parameterform von eingesetzt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

na da können wir uns die hand geben!
ich hatte einen vorzeichenfehler E1: x - 2z - 1 = 0 statt richtig E1: x + 2z - 1 = 0 (ist dir das nicht aufgefallen?) und du hast einen,
richtig ist t = 2 - s statt t = s - 2, und das eingesetzt gibt die schnittgerade

ich hoffe, jetzt paßt es
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich hatte es lediglich direkt in die Normalengleichung der E1 eingesetzt und nicht die Koordinatenform genommen und das daher auch nicht wirklich bemerkt. *g*

Eben war ich gerade nochmal meinen Rechenweg vom Einsetzen der Parameterform von E0 in E1 dabei hier zu schreiben und da habe ich entedeckt dass ich einmal 'ne 0 stehen hatte anstatt eine 1 bei'm t-Parameter...einfach falsch übernommen von einer auf die nächste Zeile und nicht aufgefallen. *g*

Es kommt dann also t = -s +2 raus, richtig.

Dann in einsetzen:





und dann eben noch zusammenzählen...




So, habe ich nun noch wo was übersehen beim nachkorrigieren meiner Rechnung oder kommt beim s-Parameter da die -1 hin und nicht die +1 ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein jetzt stimmt alles, ich hatte mich nur vertippt
(habe es schon korrigiert)
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hehe alles klar ok, dann passt es nun. Dankeschön. smile

- - -

Ebenfalls noch zu dieser Aufgabe wo ich ja die Ebenenschar mit gegeben habe.

Es ist nun nach der Ebene der Schwar gefragt, die von der y-Achse unter einem Winkel von 45° geschnitten wird.

Tja, ich weiß hier leider noch nicht wie ich da vorgehen soll.

Ich hätte den allgemeinen Normalenvektor der Ebenenschar ja gegeben und könnte ja nun über das Skalarprodukt für cos 45° das a ausrechnen, das wäre ja möglich.
Nur weiß ich dann nicht wie weiter...also das ist nur so ein Ansatz, ob der wirklich was bringt weiß ich nicht. *g* Ich muss ja auch noch irgendwie das mit dem Schnittwinkel der y-Achse miteinbringen, also was mit .

Danke im Voraus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ohne weiteren kommentar

(0/1/0) und n einsetzen, ergibt gl. für a
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mhm alles klar. Da habe ich für a dann -0,25 raus...müsste es +0,25 sein? *g*
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn - raus kommt, bleib dabei, mach mal die probe, dann siehst du, dass + 1/4 net paßt
(darum sind auch die betragsstricherl da)
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hm...ja um +0,5 dreht sich's eh nicht...sondern um 0,25 und das hab ich immernoch raus.





Dann die Wurzel aus dem Nenner auf die linke Seite hoch, anschließend quadriert, dann gehen die a² raus und es steht:






Nur wenn ich das mal dann oben in die Ausgangsformel einsetze und Alpha ausrechne, komme ich nicht auf die 45°, sondern glaube irgendwas mit 64° waren das. Wenn ich den Betrag |a-1| quadriere, was kommt denn dann raus?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

klar ist es -1/4 , vertippe mich in letzter zeit dauernd (habe es korrigiert),
aber drum habe ich ja geschrieben, wenn - rauskommt bleib dabei:
mit -1/4 steht da


mit a = +1/4 => zähler = 3/4 gibt den falschen winkel
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mhm alles klar, hatte ich mir eigentlich auch gedacht.

Gut, dann stimmte der Wert mit -0,25 ja sogar. Ich hatte dann nämlich auch die Probe gemacht und das für a eingesetzt, nur dann habe ich mir da beim Eintippen in den Rechner irgendwo vertippt und so den verkehrten Winkel erhalten für Alpha. Augenzwinkern

In Ordnung, dann passt es jetzt so - vielen Dank und ein schönes (Pfingst-)Wochenende! smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »