Unterraum von IR^4?

10.05.2005, 21:15

ellocko

Unterraum von IR^4?

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} V := \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ . Welche der folgenden Teilmengen ist ein Unterraum?

(a) $\begin{eqnarray*} \{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 = 3x_2, 2x_3 + x_4 = 0\} \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} \{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1^2 = x_2\} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich an diese Aufgabe ran?

10.05.2005, 22:31

phi

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Zunächst muss geprüft werden ob a) und b) weniger oder gleich viel Dimensionen wie V haben. Das ist bei beiden der Fall.

Jetzt musst du nur noch prüfen ob die Skalarmultiplikation bzw. die Addition von Vektoren auf das jeweilige U abgeschlossen ist.

Ausserdem darf U nicht eine leere Menge sein und für alle u,u´ element aus U muss auch u-u´ element von U sein.

Dann folgen alle übrigen Vektorraumaxiome von ganz alleine und U ist ein Untervektorraum.

11.05.2005, 17:04

JochenX

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Zitat:

Ausserdem darf U nicht eine leere Menge sein und für alle u,u´ element aus U muss auch u-u´ element von U sein.

meistens zeigt man: U enthält 0, das muss es eh
u-u' liegt im unterraum, das muss nicht mehr gezeigt werden an dieser stelle, denn das folgt direkt aus den darüber gezeigten beiden abgeschlossenheiten

nicht doppelt moppeln!

12.05.2005, 17:17

ellocko

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Also $\begin{eqnarray*} U \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u+v \in \mathbb{R}~|~ \forall u,v \in U \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a \cdot u \in\mathbb{R}~|~\forall a\in\mathbb{R}, u \in U \end{eqnarray*}$

Das wäre das UNterraumkriterium. Und wie zeig ich die Sachen jetzt?

12.05.2005, 17:56

JochenX

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Zitat:

Original von ellocko
Also $\begin{eqnarray*} U \neq 0 \end{eqnarray*}$

genauer: $\begin{eqnarray*} U \neq \{\} \end{eqnarray*}$ (nicht leer)

zeige dafür, dass der neutrale vektor 0 in U liegt.

für die abgeschlossenheiten: nimm einen (bzw zwei) beliebige(n) vektor(en) aus U und zeige, dass nach verknüpfung untereinander (bzw. mit einem beliebigen skalar) wieder ein vektor rauskommt der in U liegt.

mfg jochen

12.05.2005, 19:04

ellocko

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Theoretisch weiß ich, wie gesagt, was ich machen müsste. Ich bin nur nicht so eine großer Fan von Beweisen und tue mich immer etwas schwer. Wie fange ich denn praktisch an?

Ich definiere mir aslo einen Vektor $\begin{eqnarray*} u_1 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und einen zweiten Vektor $\begin{eqnarray*} u_2 = \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$ . Nun muss ich zeigen, das $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ liegen. Also: $\begin{eqnarray*} u_1+u_2 = \begin{pmatrix} a+e \\ b+f \\ c+g \\ d+h \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

Und nu?

12.05.2005, 20:07

JochenX

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okay schon mal ganz gut

um zu zeigen, das u1+u2 in U liegt, musst du zeigen, dass u1+u2 die nötigen bedingungen erfüllt!

z.b. muss (a+e)=3(b+f) erfüllt sein und......

das musst du dann nachrechnen

12.05.2005, 21:07

ellocko

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Also:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3x_2\\x_2 = \frac{x_1}{3}\\x_3 = -\frac{x_4}{2}\\x_4 = -2x_3\\ \end{eqnarray*}$

somit dann:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3(b+f)\\x_2 = \frac{a+e}{3}\\x_3 = -\frac{d+h}{2}\\x_4 = -2(c+g)\\ \end{eqnarray*}$

Wenn man die Gleichungen nach allen Variablen auflöst, dann ergibt das:

$\begin{eqnarray*} a = 3b+3f-e\\e=3b+3f-a\\b=\frac{a+e-3f}{3}\\f=\frac{a+e-3b}{3}\\d=-h-2e-2g\\h=-d-2c-2g\\c=\frac{-d-h-2g}{2}\\g=\frac{-d-h-2c}{2} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich in $\begin{eqnarray*} x_1 = 3x_2 \end{eqnarray*}$ einfach eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 3b+3f-e+3b+3f-a = 3\frac{a+e-3f}{3}+3\frac{a+e-3b}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6b+6f-e-a = 2a+2e-3f-3b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9b+9f = 3a+3e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b+3f = a+e \end{eqnarray*}$

Is die erste Bedingung von (a) damit bewiesen?

13.05.2005, 00:32

JochenX

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komische reihenfolge!

begine doch mit bekannten aussagen! also, da u1, u2 in U liegen muss gelten:
a=3b und e=3f (eingesehen?)
=> a+e=3b+3f=3(b+f) und damit steht schon die erste forderung da.

capisce? oder soll ich näher erläutern?

13.05.2005, 01:34

ellocko

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näher erläutern...

13.05.2005, 09:00

klarsoweit

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Sei $\begin{eqnarray*} U = \{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 = 3x_2, 2x_3 + x_4 = 0\} \end{eqnarray*}$
u1 = (a,b,c,d) sei aus der Menge U. Daher erfüllt es folgende Bedingungen:
a=3b und 2c + d = 0
Ebenso sei u2 = (e,f,g,h) aus der Menge U. Daher erfüllt es folgende Bedingungen:
e=3f und 2g + h = 0
Soweit klar?

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