Determinanten bestimmen

11.05.2005, 13:05

Moeki

Determinanten bestimmen

Das Bestimmen von Matrizen ist eigentlich kein Problem mehr für mich aber mit folgender Matriz habe ich noch ein Problem. Vielleicht könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} a+b & a & ... & a \\ a & a+b & ... & a \\ ... & ... & ... & ... \\ a & a & ... & a+b \end{pmatrix} \in K_{n,n} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, das Ganze für n=3 und n=4 zu berechnen und daraus eine Formel abzuleiten. Dabei habe ich mich aber wahrscheinlich verrechnet.

Danke im Voraus
Moeki.

11.05.2005, 14:32

quarague

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ich würde es mit Spaltenumformungen versuchen, wenn du zu einer Spalte ein vielfaches einer anderen addierst, bleibt die Det unverändert.
zB kann man von der zweiten bis n-ten Spalte jeweils einmal die erste abziehen. Wenn man dann noch mal von der ersten Spalte (a/b) mal die zweite bis n-te Spalte abzieht, kann man die Det dirkt ablesen.

11.05.2005, 15:10

MisterMagister

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Also $\begin{eqnarray*} det~B = b^{n} \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2005, 15:37

JochenX

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@mister magister:
wohl kaum, für n=1 ist das schon falsch!

11.05.2005, 16:07

Leopold

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Die n×n-Matrix mit der angegebenen Struktur bezeichne ich mit $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt die Rekursionsformel

$\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(B_n) = ab^{n-1}+b \operatorname{det}(B_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Aus dieser folgt durch $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -malige Anwendung

$\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(B_n) = b^{n-1}(na+b) \end{eqnarray*}$

Auf die Rekursionsformel kommt man, indem man die Linearität der Determinante bezüglich der ersten Spalte verwendet, diese als

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b \\ a \\ a \\ \vdots \\ a \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schreibend. Die eine dabei entstehende Determinante (die mit den Einsen in der ersten Spalte) kann durch Subtraktion der ersten Zeile von den andern Zeilen auf Dreiecksgestalt gebracht werden, so daß man ihre Determinante sofort berechnen kann. Die andere Determinante (die mit dem Einheitsvektor in der ersten Spalte) kann nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz auf $\begin{eqnarray*} B_{n-1} \end{eqnarray*}$ zurückgeführt werden.

11.05.2005, 16:11

JochenX

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rekursion? hmmmm

meines erachtens noch naheliegender ist die addition der 1. bis zur n-1-ten spalte auf die letzte (die hat dann immer die gleichen einträge)
anschließend wird die letzte zeile von allen vorhergehenden spalten abgezogen und schwups haben wir eine diagonalmatrix.

aber natürlich führen mehrere wege nach rom.

mfg jochen

Rom ->