Radikal als Ideal

11.05.2005, 11:14	Hamilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Radikal als Ideal Hallo, habe folgendes Problem: R ist kommutativer Ring, A ein Ideal in R. Dann heißt Rad(A) := { $\begin{eqnarray} x\in R, mit der Eigenschaft: es existiert ein n\in \mathbb N mit x^{n} \in A \end{eqnarray}$ } das Radikal von A. Ich soll zeigen, dass Rad(A) ein Ideal in R ist und dass Rad(Rad(A))=Rad(A). Ich weiß, dass man für ein Ideal zeigen muß: 1.A ist additive Untergruppe von R 2. $\begin{eqnarray} r\in R, a\in A\Rightarrow ra\in A \end{eqnarray}$ Das heißt ich zeige, die beiden Eigenschaften für $\begin{eqnarray} x^{n} \end{eqnarray}$ ,oder? Und das Zweite was ich zeigen muß, das verstehe ich garnicht. Bitte um Hilfe Viele Grüße
11.05.2005, 12:25	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
für den ersten Teil, seien x und y zwei Elemente aus rad(A), daher es gibt n und m mit $\begin{eqnarray} x^n \in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y^m \in A \end{eqnarray}$ sowie r ein Element aus R, du musst zeigen $\begin{eqnarray} x+y \in rad(A) \end{eqnarray}$ also es existiert ein p mit $\begin{eqnarray} (x+y)^p \in A \end{eqnarray}$ irgendwas wie p=m+n oder p=mn sollte da funktionieren. und $\begin{eqnarray} xr \in rad(A) \end{eqnarray}$ das Prinzip ist wieder so ähnlich. für zweites ist die erste Beobachtung das gilt $\begin{eqnarray} A \subseteq rad(A) \end{eqnarray*}$ (wieso?) das heisst, wenn ich zu einen Ideal das Radikal bilde, erhalte ich eine Übermenge des Ideals, du sollst nun zeigen, das man nichts neues mehr hinzugewinnt, wenn man das zweimal hintereinander macht. Dafür musst du eigentlich nur die Definition einsetzen
12.05.2005, 07:19	Hamilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Radikal als Ideal Das erste habe ich hinbekommen denke ich. Am zweiten muß ich noch einbißchen knobeln und dann melde ich mich noch mal. Danke für die Tips
12.05.2005, 16:51	Hamilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist A Teilmnge von Rad(A)? In A sind doch alle Potenzen und in Rad(A) sind nur die Wurzeln und somit ist A doch größer als Rad(A). Das ist schon mal mein erstes Problem...
13.05.2005, 15:41	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
rad{A} ist definiert als alle x aus R für die eine natürliche Zahl n existiert, so dass $\begin{eqnarray} x^n \in A \end{eqnarray}$ wenn das x jetzt schon in A liegt, ist n=1, also $\begin{eqnarray} x^1=x \in A \end{eqnarray}$ vielleicht kannst du dir das ganze mit einem BSP besser vorstellen. Sei R=Z/12Z mit Addition und Multiplikation wie in Z aber modulo 12 Sei A={0,4,8} das Ideal dann ist zB 2 auch in rad(A) weil 2²=4 also n=2

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